Ao se analisar uma transformação linear é possível traduzi-la na forma de uma matriz. Isso é possível pois as matrizes, como elementos de um espaço vetorial, conservam todas as propriedades necessárias a uma transformação linear. A utilização de matrizes não aparece por acaso e está vinculada aos conceitos de autovalores e autovetores de uma função.
Com base no exposta acime, avalie as afirmações:
I) A transformação T: R^{2} \rightarrow R, T(x, y)=x+y pode ser representada pela matriz:
O enunciado apresenta quatro transformações lineares entre espaços \mathbb{R}^n e pede para verificar se cada uma pode ser representada pela matriz indicada nos padrões usuais de bases canônicas. Vamos usar o fato de que, se T\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é linear, então existe uma matriz A de tamanho m\times n tal que, para todo vetor coluna x\in\mathbb{R}^n, vale T(x)=A\,x.
Passo 2
Regra geral de formato: se T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, então a matriz A que representa T na base canônica é de dimensão m\times n. Cada coluna de A é a imagem de um vetor da base de \mathbb{R}^n, escrita em coordenadas da base de \mathbb{R}^m.
Passo 3
I) Temos T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, T(x,y)=x+y. Aqui n=2, m=1, logo a matriz deve ser 1\times2. Tomando as imagens de (1,0)\mapsto1 e (0,1)\mapsto1, obtemos
\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix},
que coincide com a matriz dada. Portanto, I está correta.
Passo 4
II) Para T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, T(x,y)=(x+y,\;x-y), temos n=m=2. As imagens de (1,0) e (0,1) são (1,1) e (1,-1), resultando na matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
igual à dada. Logo, II é correta.
Passo 5
III) Em T\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, T(x)=(x,2x), temos n=1, m=2. A imagem de 1\in\mathbb{R} é (1,2), formando a matriz 2\times1:
\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
que corresponde ao \binom{1}{2} indicado. Assim, III é correta.
Passo 6
IV) Para T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, T(x,y)=(x,\;x+y,\;y), espera-se uma matriz 3\times2. As colunas seriam (1,1,0) e (0,1,1), ou seja