Ao se analisar uma transformação linear é possível traduzi-la na forma de uma matriz. Isso é possível pois as matrizes, como elementos de um espaço vetorial, conservam todas as propriedades necessárias a uma transformação linear. A utilização de matrizes não aparece por acaso e está vinculada aos conceitos de autovalores e autovetores de uma função.
Com base no exposta acime, avalie as afirmações:
I) A transformação T: R^{2} \rightarrow R, T(x, y)=x+y pode ser representada pela matriz:
T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \end{array}\right)
II) A transformação T: R^{2} \rightarrow R^{2}, T(x, y)=(x+y, x-y) pode ser representada pela matriz:
T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right)
III) A transformação T: R \rightarrow R^{2}, T(x)=(x, 2 x) pode ser representada pela matriz:
T_{\beta}^{\alpha}=\binom{1}{2}
IV) A transformação T: R^{2} \rightarrow R^{3}, T(x, y)=(x, x+y, y) pode ser representada pela matriz:
T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado apresenta quatro transformações lineares entre espaços \mathbb{R}^n e pede para verificar se cada uma pode ser representada pela matriz indicada nos padrões usuais de bases canônicas. Vamos usar o fato de que, se T\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é linear, então existe uma matriz A de tamanho m\times n tal que, para todo vetor coluna x\in\mathbb{R}^n, vale T(x)=A\,x.

Passo 2

Regra geral de formato: se T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, então a matriz A que representa T na base canônica é de dimensão m\times n. Cada coluna de A é a imagem de um vetor da base de \mathbb{R}^n, escrita em coordenadas da base de \mathbb{R}^m.

Passo 3

I) Temos T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, T(x,y)=x+y. Aqui n=2, m=1, logo a matriz deve ser 1\times2. Tomando as imagens de (1,0)\mapsto1 e (0,1)\mapsto1, obtemos
\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix},
que coincide com a matriz dada. Portanto, I está correta.

Passo 4

II) Para T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, T(x,y)=(x+y,\;x-y), temos n=m=2. As imagens de (1,0) e (0,1) são (1,1) e (1,-1), resultando na matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
igual à dada. Logo, II é correta.

Passo 5

III) Em T\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, T(x)=(x,2x), temos n=1, m=2. A imagem de 1\in\mathbb{R} é (1,2), formando a matriz 2\times1:
\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
que corresponde ao \binom{1}{2} indicado. Assim, III é correta.

Passo 6

IV) Para T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, T(x,y)=(x,\;x+y,\;y), espera-se uma matriz 3\times2. As colunas seriam (1,1,0) e (0,1,1), ou seja
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 1 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Porém, o enunciado dá uma matriz 2\times3, o que está trocado e teme formato errado. Portanto, IV é falsa.

Resposta

I, II e III.

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