Apresentadas as equações abaixo, avalie o que é afirmado a seguir.
I. 4 x^{2}+5 y^{2}=20 é uma elipse.
II. x^{2}=1-y é uma parábola.
III. y+3=x^{2} é uma hipérbole.
IV. x^{2}+10 y^{2}=10 é uma elipse.
É correto o que se afirma em:

Passo 1

Temos quatro equações do segundo grau em x e y e queremos classificar cada uma como elipse, parábola ou hipérbole. A teoria que usamos é o discriminante
\Delta = B^2 - 4AC
da forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + \dots = 0.
Se \Delta<0 e A e C têm o mesmo sinal, é elipse; se \Delta=0, é parábola; se \Delta>0, é hipérbole.

Passo 2

Para I:
4x^2 + 5y^2 = 20
pode ser escrita como
4x^2 + 0\cdot xy + 5y^2 - 20 = 0,
logo A=4, B=0, C=5.
Calculamos
\Delta = 0^2 - 4\cdot4\cdot5 = -80 < 0
e A e C são positivos. Portanto I descreve uma elipse (verdadeira).

Passo 3

Para II:
x^2 = 1 - y
reordena-se em
x^2 + y - 1 = 0,
de modo que A=1, B=0, C=0.
\Delta = 0^2 - 4\cdot1\cdot0 = 0,
logo é parábola (verdadeira).

Passo 4

Para III:
y + 3 = x^2
fica
x^2 - y - 3 = 0,
aqui A=1, B=0, C=0 e
\Delta = 0^2 - 4\cdot1\cdot0 = 0.
Isso também é uma parábola, não uma hipérbole, então III é falsa.

Passo 5

Para IV:
x^2 + 10y^2 = 10
escreve-se
x^2 + 10y^2 - 10 = 0,
com A=1, B=0, C=10.
\Delta = 0^2 - 4\cdot1\cdot10 = -40 < 0
e A e C são positivos, definindo uma elipse (verdadeira).

Resposta

I, II e IV são corretas.

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