As duas equações abaixo resumem os conceitos de autovetores e de autovalores. O primeiro conceito está relacionado aos vetores “v” que resolvem a primeira equação descrita. Os autovalores são aqueles escalares para os quais a segunda equação é verdadeira. Estes dois conceitos auxiliam nos cálculos de equações matriciais não convencionais (como envolvendo potenciação de matrizes).
Avalie as afirmações a seguir:
I) Os autovalores da matriz de transformação linear abaixo são \lambda=-1 \mathrm{e} \lambda=4
O enunciado fornece quatro matrizes 2\times2 e afirma, para cada uma, um par de autovalores. Nosso objetivo é verificar, usando o polinômio característico ou a propriedade de matrizes triangulares, se cada afirmação (I–IV) está correta.
observamos que é triangular superior, de modo que seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Portanto \lambda_1=1 e \lambda_2=2,
e a afirmação II está correta.
Passo 4
Para a matriz da afirmação III,
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix},
também triangular (inferior), seus autovalores são os elementos da diagonal: \lambda_1=2 e \lambda_2=3.
A afirmação III está correta.
Passo 5
Para a matriz da afirmação IV,
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
o traço é 1+1=2 e o determinante é 1\cdot1-1\cdot1=0. O polinômio característico é