As duas equações abaixo resumem os conceitos de autovetores e de autovalores. O primeiro conceito está relacionado aos vetores “v” que resolvem a primeira equação descrita. Os autovalores são aqueles escalares para os quais a segunda equação é verdadeira. Estes dois conceitos auxiliam nos cálculos de equações matriciais não convencionais (como envolvendo potenciação de matrizes).
Avalie as afirmações a seguir:
I) Os autovalores da matriz de transformação linear abaixo são \lambda=-1 \mathrm{e} \lambda=4
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right)
II) O autovalor da matriz de transformação linear abaixo é \lambda=1 \mathrm{e} \lambda=2
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right)
III) Os autovalores da matriz de transformação linear abaixo são
\lambda=2 e \lambda=3.
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right)
IV) Os autovalores da matriz de transformação linear abaixo são
\lambda=0 e \lambda=2
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right)
Está correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado fornece quatro matrizes 2\times2 e afirma, para cada uma, um par de autovalores. Nosso objetivo é verificar, usando o polinômio característico ou a propriedade de matrizes triangulares, se cada afirmação (I–IV) está correta.

Passo 2

Para a matriz da afirmação I,
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{pmatrix},
calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\\\ 3 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)-6 = \lambda^2 -3\lambda -4.
Resolvendo \lambda^2 -3\lambda -4=0 obtemos
\lambda=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm5}{2}\quad\Rightarrow\quad \lambda=4,\,-1.
Logo, a afirmação I está correta.

Passo 3

Para a matriz da afirmação II,
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix},
observamos que é triangular superior, de modo que seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Portanto
\lambda_1=1 e \lambda_2=2,
e a afirmação II está correta.

Passo 4

Para a matriz da afirmação III,
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix},
também triangular (inferior), seus autovalores são os elementos da diagonal:
\lambda_1=2 e \lambda_2=3.
A afirmação III está correta.

Passo 5

Para a matriz da afirmação IV,
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
o traço é 1+1=2 e o determinante é 1\cdot1-1\cdot1=0. O polinômio característico é
\lambda^2 - (\text{traço})\,\lambda + (\det) = \lambda^2 -2\lambda +0 = \lambda(\lambda-2),ç
cujas raízes são \lambda=0 e \lambda=2. Logo, a afirmação IV está correta.

Resposta

Estão corretas as afirmações I, II, III e IV.

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