Para analisar a variação de cápsulas de suplemento vitamínico, foram selecionadas aleatoriamente e pesadas 14 cápsulas. Os resultados da amostra mostram que o desvio padrão amostral foi de 0,020 . Para que a variação esteja em um nível aceitável o desvio padrão populacional dos pesos deve ser menor que 0,015 miligrama. Construa um intervalo com 90 % de confiança para sigma e responda se a variação está em um nível aceitável. Justifique.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é: a gente tem uma amostra de n = 14 cápsulas e mediu o desvio padrão amostral s = 0,020 mg. A matéria envolvida é “intervalo de confiança para o desvio padrão populacional” usando a distribuição qui-quadrado. Para resolver vamos precisar:
• Entender a fórmula do intervalo para σ² (e depois tirar raiz pra σ).
• Saber pegar os valores críticos da qui-quadrado (com grau de liberdade n − 1 = 13) para 90% de confiança.

Passo 2

A teoria manda que, para intervalo de confiança 1 − α pro σ², usamos:
gl[, (n-1),s^2chi^21-α2,,n-1 ;,; (n-1),s^2chi^2α2,,n-1 gr]
Aqui α = 0,10 (pois confiança de 90%), então α/2 = 0,05. E os quantis da qui-quadrado com 13 graus de liberdade são, em tabela:
chi^20,95,,13 = 22,362 e chi^20,05,,13 = 5,009
Isso a gente usa pra virar o intervalo de σ².

Passo 3

  1. Primeiro calcula s²:
s^2 = (0,020)^2 = 0,0004
  1. Agora os limites de σ²:
limite inferior =(14-1)cdot0,000422,362 =13cdot0,000422,362approx0,0002327,
limite superior =13cdot0,00045,009 approx0,0010383
  1. Pra virar desvio padrão (σ), tiramos raiz de cada:
sigmamin=raiz0,0002327approx0,0153, sigmamax=raiz0,0010383approx0,0322

Passo 4

O intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão populacional σ é [0,0153; 0,0322] mg.
O problema diz que, pra ser aceitável, σ precisa ser menor que 0,015 mg. Mas note que até o menor valor do nosso intervalo (0,0153) já é maior que 0,015.
Logo, não podemos afirmar que σ < 0,015 – a variação está acima do limite aceitável.

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para σ é aproximadamente [0,0153; 0,0322] mg. Como todo o intervalo está acima de 0,015 mg, concluímos que a variação de peso das cápsulas NÃO está em nível aceitável.

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