Para analisar a variação de cápsulas de suplemento vitamínico, foram selecionadas aleatoriamente e pesadas 14 cápsulas. Os resultados da amostra mostram que o desvio padrão amostral foi de 0,020 . Para que a variação esteja em um nível aceitável o desvio padrão populacional dos pesos deve ser menor que 0,015 miligrama. Construa um intervalo com
de confiança para
e responda se a variação está em um nível aceitável. Justifique.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é: a gente tem uma amostra de n = 14 cápsulas e mediu o desvio padrão amostral s = 0,020 mg. A matéria envolvida é “intervalo de confiança para o desvio padrão populacional” usando a distribuição qui-quadrado. Para resolver vamos precisar:
• Entender a fórmula do intervalo para σ² (e depois tirar raiz pra σ).
• Saber pegar os valores críticos da qui-quadrado (com grau de liberdade n − 1 = 13) para 90% de confiança.
• Entender a fórmula do intervalo para σ² (e depois tirar raiz pra σ).
• Saber pegar os valores críticos da qui-quadrado (com grau de liberdade n − 1 = 13) para 90% de confiança.
Passo 2
A teoria manda que, para intervalo de confiança 1 − α pro σ², usamos:
Aqui α = 0,10 (pois confiança de 90%), então α/2 = 0,05. E os quantis da qui-quadrado com 13 graus de liberdade são, em tabela:
Isso a gente usa pra virar o intervalo de σ².
Passo 3
- Primeiro calcula s²:
- Agora os limites de σ²:
- Pra virar desvio padrão (σ), tiramos raiz de cada:
Passo 4
O intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão populacional σ é [0,0153; 0,0322] mg.
O problema diz que, pra ser aceitável, σ precisa ser menor que 0,015 mg. Mas note que até o menor valor do nosso intervalo (0,0153) já é maior que 0,015.
Logo, não podemos afirmar que σ < 0,015 – a variação está acima do limite aceitável.
O problema diz que, pra ser aceitável, σ precisa ser menor que 0,015 mg. Mas note que até o menor valor do nosso intervalo (0,0153) já é maior que 0,015.
Logo, não podemos afirmar que σ < 0,015 – a variação está acima do limite aceitável.
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para σ é aproximadamente [0,0153; 0,0322] mg. Como todo o intervalo está acima de 0,015 mg, concluímos que a variação de peso das cápsulas NÃO está em nível aceitável.