A equação IDF abaixo é válida para uma determinada cidade, para chuvas com duração entre 5 minutos e 2 horas. Calcule a intensidade de chuva ( \mathrm{mm} / \mathrm{h} ) para diferentes tempos de retorno ( 2,10,25 e 50 anos) e durações (min). Represente os resultados graficamente.
i=\frac{5950 \cdot T_{r}^{0,217}}{(t+26)^{1,15}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação IDF válida para chuvas com duração entre 5 minutos e 120 minutos:
i=\frac{5950\cdot T_{r}^{0,217}}{(t+26)^{1,15}}
O que é pedido:
  • Calcular a intensidade de chuva i (em \mathrm{mm/h}) para os tempos de retorno T_{r}=2,\;10,\;25,\;50 anos.
  • Calcular para diferentes durações t (em minutos) dentro do intervalo válido 5\le t\le120.
  • Representar os resultados graficamente.
Informações relevantes e decisões práticas que adotei (pegas bem?):
  • A fórmula está em função do tempo de retorno T_{r} (anos) e da duração t (min).
  • Como o enunciado só diz “durações (min)”, vou calcular para um conjunto representativo de durações que cobre bem a faixa 5 120 min: t= 5,\;10,\;15,\;20,\;30,\;45,\;60,\;90,\;120 (em minutos). Esses pontos são comuns em exercícios e mostram bem a queda de intensidade com t.
  • Vou apresentar os cálculos passo a passo (como se estivesse resolvendo na prova) e no final indicar como plotar (código pronto) e mostrar uma tabela com os valores numéricos.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as unidades (aulas rápidas, sem drama):
  • i é a intensidade de chuva em \mathrm{mm/h}. Isso significa quantos milímetros de chuva caem por hora.
  • T_{r} é o tempo de retorno em anos (ex.: T_{r}=10 significa chuva esperada uma vez a cada 10 anos, em média).
  • t é a duração da chuva, em minutos. Note que estamos somando 26 dentro do denominador: isso é um ajuste empírico que evita singularidade para durações muito pequenas.
  • A forma geral é uma constante multiplicada por T_{r}^{0,217} dividida por (t+26)^{1,15}. Exponenciais fracionários significam crescimento lento em T_{r} e decaimento em t.
Dica prática para a prova: calcule primeiro o coeficiente que depende só de T_{r},
A(T_{r})=5950\cdot T_{r}^{0,217},
e depois calcule o denominador (t+26)^{1,15}. Assim evita refazer potências de T_{r} para cada t.

Passo 3

Calcular A(T_{r})=5950\cdot T_{r}^{0,217} para cada T_{r} pedido. Vou mostrar os passos de cálculo (uso do logaritmo mental para potências, mas na prova pode calcular direto se permitido):
  • Para T_{r}=2: T_{r}^{0,217}=2^{0,217}\approx 1{,}162\quad\Rightarrow\quad A(2)=5950\cdot1{,}162\approx 6913{,}9
  • Para T_{r}=10: 10^{0,217}\approx 1{,}647\quad\Rightarrow\quad A(10)=5950\cdot1{,}647\approx 9796{,}7
  • Para T_{r}=25: 25^{0,217}\approx 2{,}011\quad\Rightarrow\quad A(25)=5950\cdot2{,}011\approx 11965{,}5
  • Para T_{r}=50: 50^{0,217}\approx 2{,}337\quad\Rightarrow\quad A(50)=5950\cdot2{,}337\approx 13904{,}2
Comentário amigo: esses A(T_{r}) são os “picos” da intensidade; quanto maior T_{r}, maior A, ou seja, eventos mais raros são mais intensos.

Passo 4

Calcular os denominadores (t+26)^{1,15} para cada duração escolhida. Vou calcular um exemplo detalhado e depois listar os valores:
Exemplo detalhado para t=5:
t+26=31,\quad (t+26)^{1,15}=31^{1,15}=\exp\big(1{,}15\ln 31\big)\approx \exp(3{,}9496)\approx 51{,}93.
Agora os valores (apresentados arredondados com 2 casas significativas quando necessário):
  • t=5: (t+26)^{1,15}\approx 51{,}93
  • t=10: (36)^{1,15}\approx 61{,}66
  • t=15: (41)^{1,15}\approx 71{,}43
  • t=20: (46)^{1,15}\approx 81{,}63
  • t=30: (56)^{1,15}\approx 102{,}36
  • t=45: (71)^{1,15}\approx 134{,}30
  • t=60: (86)^{1,15}\approx 167{,}62
  • t=90: (116)^{1,15}\approx 236{,}78
  • t=120: (146)^{1,15}\approx 308{,}40

Passo 5

Agora calculamos as intensidades usando i=\dfrac{A(T_{r})}{(t+26)^{1,15}}. Faço um cálculo para cada combinação T_{r} × t. Vou apresentar a tabela com os valores finais arredondados com uma casa decimal (suficiente para uso prático):
Tabela de intensidades i em \mathrm{mm/h}:
  • Para T_{r}=2 anos:
    • t=5: i\approx 133{,}1\\ \mathrm{mm/h}
    • t=10: i\approx 112{,}1\\ \mathrm{mm/h}
    • t=15: i\approx 96{,}8\\ \mathrm{mm/h}
    • t=20: i\approx 84{,}7\\ \mathrm{mm/h}
    • t=30: i\approx 67{,}6\\ \mathrm{mm/h}
    • t=45: i\approx 51{,}5\\ \mathrm{mm/h}
    • t=60: i\approx 41{,}2\\ \mathrm{mm/h}
    • t=90: i\approx 29{,}3\\ \mathrm{mm/h}
    • t=120: i\approx 22{,}4\\ \mathrm{mm/h}
  • Para T_{r}=10 anos:
    • t=5: i\approx 188{,}6\\ \mathrm{mm/h}
    • t=10: i\approx 158{,}8\\ \mathrm{mm/h}
    • t=15: i\approx 137{,}1\\ \mathrm{mm/h}
    • t=20: i\approx 120{,}2\\ \mathrm{mm/h}
    • t=30: i\approx 95{,}8\\ \mathrm{mm/h}
    • t=45: i\approx 72{,}9\\ \mathrm{mm/h}
    • t=60: i\approx 58{,}4\\ \mathrm{mm/h}
    • t=90: i\approx 41{,}4\\ \mathrm{mm/h}
    • t=120: i\approx 31{,}8\\ \mathrm{mm/h}
  • Para T_{r}=25 anos:
    • t=5: i\approx 230{,}2\\ \mathrm{mm/h}
    • t=10: i\approx 194{,}0\\ \mathrm{mm/h}
    • t=15: i\approx 167{,}5\\ \mathrm{mm/h}
    • t=20: i\approx 146{,}7\\ \mathrm{mm/h}
    • t=30: i\approx 117{,}0\\ \mathrm{mm/h}
    • t=45: i\approx 89{,}1\\ \mathrm{mm/h}
    • t=60: i\approx 71{,}3\\ \mathrm{mm/h}
    • t=90: i\approx 50{,}6\\ \mathrm{mm/h}
    • t=120: i\approx 38{,}9\\ \mathrm{mm/h}
  • Para T_{r}=50 anos:
    • t=5: i\approx 267{,}6\\ \mathrm{mm/h}
    • t=10: i\approx 225{,}4\\ \mathrm{mm/h}
    • t=15: i\approx 194{,}6\\ \mathrm{mm/h}
    • t=20: i\approx 170{,}5\\ \mathrm{mm/h}
    • t=30: i\approx 135{,}9\\ \mathrm{mm/h}
    • t=45: i\approx 103{,}5\\ \mathrm{mm/h}
    • t=60: i\approx 82{,}9\\ \mathrm{mm/h}
    • t=90: i\approx 58{,}8\\ \mathrm{mm/h}
    • t=120: i\approx 45{,}2\\ \mathrm{mm/h}
Observações úteis:
  • Nota que a intensidade cai rapidamente com t (chuva curta = mais intensa), e cresce com T_{r} (evento mais raro = mais intenso).
  • Esses valores estão arredondados; se precisar com mais casas significativas eu calculo.

Passo 6

Como representar graficamente (passo a passo e código pronto):
  • Recomendação de gráfico: eixo x = duração t (min), eixo y = intensidade i ( \mathrm{mm/h}). Traçar quatro curvas, uma por T_{r} (2,10,25,50). Usar escala linear em ambos os eixos; marque pontos para os t usados e conecte com linhas suaves. Legende com T_{r} correspondente.
Exemplo de código Python (matplotlib) pronto para copiar/colar e gerar o gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Tr_values = [2,10,25,50]
t = np.array([5,10,15,20,30,45,60,90,120])   # minutos

def intensity(Tr, t):
    A = 5950 * (Tr**0.217)
    return A / ((t + 26)**1.15)

plt.figure(figsize=(8,5))
for Tr in Tr_values:
    i = intensity(Tr, t)
    plt.plot(t, i, marker='o', label=f'Tr={Tr} a')
plt.xlabel('Duração t (min)')
plt.ylabel('Intensidade i (mm/h)')
plt.title('Curvas IDF para diferentes tempos de retorno')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlim(5,120)
plt.show()
Dica final para a prova: se não der tempo para plotar, desenhe um esboço com t no eixo horizontal, mostrando quatro curvas decrescentes e indicando os valores de i em dois ou três pontos (por ex. t=5, t=30, t=120). Isso convence o corretor.

Resposta

T_{r}=2\\ \text{anos}: i(5)=133{,}1\\ \mathrm{mm/h},\; i(10)=112{,}1\\ \mathrm{mm/h},\; i(15)=96{,}8\\ \mathrm{mm/h},\; i(20)=84{,}7\\ \mathrm{mm/h},\; i(30)=67{,}6\\ \mathrm{mm/h},\; i(45)=51{,}5\\ \mathrm{mm/h},\; i(60)=41{,}2\\ \mathrm{mm/h},\; i(90)=29{,}3\\ \mathrm{mm/h},\; i(120)=22{,}4\\ \mathrm{mm/h}
T_{r}=10\\ \text{anos}: i(5)=188{,}6\\ \mathrm{mm/h},\; i(10)=158{,}8\\ \mathrm{mm/h},\; i(15)=137{,}1\\ \mathrm{mm/h},\; i(20)=120{,}2\\ \mathrm{mm/h},\; i(30)=95{,}8\\ \mathrm{mm/h},\; i(45)=72{,}9\\ \mathrm{mm/h},\; i(60)=58{,}4\\ \mathrm{mm/h},\; i(90)=41{,}4\\ \mathrm{mm/h},\; i(120)=31{,}8\\ \mathrm{mm/h}
T_{r}=25\\ \text{anos}: i(5)=230{,}2\\ \mathrm{mm/h},\; i(10)=194{,}0\\ \mathrm{mm/h},\; i(15)=167{,}5\\ \mathrm{mm/h},\; i(20)=146{,}7\\ \mathrm{mm/h},\; i(30)=117{,}0\\ \mathrm{mm/h},\; i(45)=89{,}1\\ \mathrm{mm/h},\; i(60)=71{,}3\\ \mathrm{mm/h},\; i(90)=50{,}6\\ \mathrm{mm/h},\; i(120)=38{,}9\\ \mathrm{mm/h}
T_{r}=50\\ \text{anos}: i(5)=267{,}6\ \mathrm{mm/h},\; i(10)=225{,}4\ \mathrm{mm/h},\; i(15)=194{,}6\ \mathrm{mm/h},\; i(20)=170{,}5\ \mathrm{mm/h},\; i(30)=135{,}9\ \mathrm{mm/h},\; i(45)=103{,}5\ \mathrm{mm/h},\; i(60)=82{,}9\ \mathrm{mm/h},\; i(90)=58{,}8\ \mathrm{mm/h},\; i(120)=45{,}2\ \mathrm{mm/h}

Exercícios relacionados