Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
5x<34

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
5x < 34
Isso é uma inequação racional: o denominador x não pode ser zero, e ao multiplicar ambos os lados por x precisamos cuidar do sinal de x.

Passo 2

Determinamos o domínio da expressão:
x neq 0
Para resolver, vamos multiplicar ambos os lados por x, mas distinguindo os casos x>0 e x<0, pois a desigualdade só inverte de sentido quando multiplicamos por um número negativo.

Passo 3

Caso x>0: ao multiplicar por x (positivo), o sentido da desigualdade permanece, então
5 < 34,x
é equivalente a
x > 5cdot 43 = 203
Como já impusemos x>0, a solução neste caso é
x > 203

Passo 4

Caso x<0: ao multiplicar por x (negativo), o sentido da desigualdade inverte, obtendo
5 > 34,x
Mas para x<0 o lado direito tfrac34x é negativo, enquanto 5 é positivo, então a desigualdade vale para todo x<0.

Passo 5

Unindo os dois casos, a solução da inequação é
(-infty, 0);cup;l(tfrac203,+inftyr)

Passo 6

Representação gráfica no eixo real:
– Coloca-se um círculo aberto em x=0 e outro em x=tfrac203.
– Sombream-se todos os pontos à esquerda de 0 (isto é, (-infty,0)) e todos os pontos à direita de tfrac203 (isto é, (tfrac203,infty)).

Resposta

(-infty, 0);cup;l(tfrac203,+inftyr)

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