Analise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Temos \lim _{v=u} f(x)=L se, e somente se, \lim _{x \rightarrow w^{-}} f(x)=1

Passo 1

O enunciado que vou analisar é (copiando exatamente):
\displaystyle \text{Temos }\lim_{v=u} f(x)=L\\ \text{se, e somente se,}\\ \lim_{x\to w^{-}} f(x)=1.
O que está explícito no enunciado:
  • Aparecem as expressões \lim_{v=u} f(x)=L e \lim_{x\to w^{-}} f(x)=1.
  • A frase afirma uma equivalência lógica: “se, e somente se” (bicondicional) entre essas duas afirmações de limites.
Observações essenciais sobre o enunciado (apenas listando; não vou resolver ainda):
  • As notações estão confusas: a primeira usa \lim_{v=u} (uma forma não padrão) e mistura variáveis v,u com f(x); a segunda usa \lim_{x\to w^{-}} e o valor 1.
  • Há mudança de símbolos e valores ( u vs w, L vs 1), sem conexão explícita entre eles no enunciado.

Passo 2

Para poder julgar a verdade da equivalência preciso lembrar rigorosamente o que significam limites e limites laterais. Vou ensinar isso de forma direta e simples.
Definição (limite usual): \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<|x-a|<\delta vale |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Aqui x é a variável que tende para o ponto a, e L é o número que f(x) aprox. quando x fica perto de a (mas x\neq a).
Definição (limite à esquerda): \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=M significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<a-x<\delta (ou seja, x<a e x fica suficientemente próximo de a pela esquerda) vale |f(x)-M|<\varepsilon.
Fato importante (teorema útil): \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L existe e é igual a L se, e somente se, as duas condições seguintes ocorrerem simultaneamente:
\lim_{x\to a^-} f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)=L.
Ou seja, o limite bilateral existe exatamente quando os dois limites laterais existem e coincidem no mesmo valor.

Passo 3

Agora interpreto a afirmação dada. Existem dois problemas imediatos que mostram que a equivalência proposta não pode ser verdadeira, em geral:
  1. Notação inconsistente: \lim_{v=u} f(x)=L não é notação padrão. O correto seria algo como \lim_{x\to u} f(x)=L. Assim, já há ambiguidade sobre qual variável tende a quê. Uma afirmação mal escrita pode tornar a proposição sem sentido formal.
  2. Mesma variável/ponto/valor? Mesmo se corrigirmos a primeira para \lim_{x\to u} f(x)=L, a segunda afirma \lim_{x\to w^-} f(x)=1. Não há nenhuma ligação garantida entre u e w nem entre L e 1. Uma equivalência do tipo “ \lim_{x\to u} f(x)=L se e somente se \lim_{x\to w^-} f(x)=1” seria uma afirmação muito forte: exige que sempre que o limite em u exista e seja L, então o limite à esquerda em w seja exatamente 1, e vice-versa. Sem qualquer relação entre u e w e entre L e 1, isso não pode ser verdade em geral.
Conclusão lógica até aqui: a equivalência, tal como escrita, é (pela notação inconsistente e pela falta de relação entre símbolos) falsa ou sem sentido. Vou demonstrar com um contraexemplo concreto para fixar a intuição.

Passo 4

Contraexemplo explícito — mostro uma função e escolhas de [u,w,L) que deixam a equivalência falsa.
Defina a função
f(x)=\begin{cases} 1, & x<0,\\[4pt] 2, & x\ge 0. \end{cases}
Escolha u=0\], \(w=0 e L=2. Agora avalio os limites:
  • Para o limite à esquerda em w=0:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1,
porque para todo x<0 suficientemente próximo de 0 temos f(x)=1.
  • Para o limite bilateral em u=0:
\lim_{x\to 0} f(x)
não existe, porque o limite à esquerda vale 1 e o limite à direita vale 2; os dois lados não coincidem. Em particular não é verdade que \lim_{x\to 0} f(x)=L=2.
Agora veja a equivalência proposta (corrigindo a notação para algo legível): a afirmação “ \lim_{x\to u} f(x)=L se, e somente se, \lim_{x\to w^-} f(x)=1” com u=0,w=0,L=2 fica:
  • A segunda parte \lim_{x\to 0^-} f(x)=1 é verdadeira (vemos acima).
  • A primeira parte \lim_{x\to 0} f(x)=2 é falsa (o limite bilateral não existe).
    Portanto a equivalência “se e somente se” falha: a direita é verdadeira enquanto a esquerda é falsa. Logo a afirmativa é falsa.
Esse contraexemplo é bem simples e suficiente para mostrar que, sem hipóteses adicionais ligando u a w e L a 1 e sem exigir igualdade dos limites laterais, a equivalência não é válida.]

Passo 5

Observação corretiva e didática (para a prova, o que realmente é correto e útil lembrar):
  • A forma correta e útil de relacionar limite bilateral e limites laterais é:
\lim_{x\to a} f(x)=L\quad\text{se, e somente se}\quad \lim_{x\to a^-} f(x)=L\\ \text{e}\\ \lim_{x\to a^+} f(x)=L.
Isto é, o limite bilateral em a existe e vale L exatamente quando ambos os limites laterais existem e são iguais a L.
  • Portanto, qualquer afirmação do tipo “ \lim_{x\to u} f(x)=L sse \lim_{x\to w^-} f(x)=1” só poderia ser verdadeira em circunstâncias muito especiais (por exemplo, se u=w e L=1 e ainda houver garantia de que o limite à direita também vale 1). Mas o enunciado dado não forneceu tais hipóteses, então não é verdadeiro em geral.

Resposta

F

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