Analise as afirmações abaixo, assinale
para as verdadeiras,
para as falsas e justifique suas escolhas.
Temos
se, e somente se,
…
Temos
Passo 1
O enunciado que vou analisar é (copiando exatamente):
O que está explícito no enunciado:
- Aparecem as expressões
e . - A frase afirma uma equivalência lógica: “se, e somente se” (bicondicional) entre essas duas afirmações de limites.
Observações essenciais sobre o enunciado (apenas listando; não vou resolver ainda):
- As notações estão confusas: a primeira usa
(uma forma não padrão) e mistura variáveis com ; a segunda usa e o valor . - Há mudança de símbolos e valores (
vs , vs ), sem conexão explícita entre eles no enunciado.
Passo 2
Para poder julgar a verdade da equivalência preciso lembrar rigorosamente o que significam limites e limites laterais. Vou ensinar isso de forma direta e simples.
Definição (limite usual):
significa que, para todo
, existe
tal que sempre que
vale
.
- Aqui
é a variável que tende para o ponto , e é o número que aprox. quando fica perto de (mas ).
Definição (limite à esquerda):
significa que, para todo
, existe
tal que sempre que
(ou seja,
e
fica suficientemente próximo de
pela esquerda) vale
.
Fato importante (teorema útil):
existe e é igual a
se, e somente se, as duas condições seguintes ocorrerem simultaneamente:
Ou seja, o limite bilateral existe exatamente quando os dois limites laterais existem e coincidem no mesmo valor.
Passo 3
Agora interpreto a afirmação dada. Existem dois problemas imediatos que mostram que a equivalência proposta não pode ser verdadeira, em geral:
-
Notação inconsistente:
não é notação padrão. O correto seria algo como . Assim, já há ambiguidade sobre qual variável tende a quê. Uma afirmação mal escrita pode tornar a proposição sem sentido formal. -
Mesma variável/ponto/valor? Mesmo se corrigirmos a primeira para
, a segunda afirma . Não há nenhuma ligação garantida entre e nem entre e . Uma equivalência do tipo “ se e somente se ” seria uma afirmação muito forte: exige que sempre que o limite em exista e seja , então o limite à esquerda em seja exatamente , e vice-versa. Sem qualquer relação entre e e entre e , isso não pode ser verdade em geral.
Conclusão lógica até aqui: a equivalência, tal como escrita, é (pela notação inconsistente e pela falta de relação entre símbolos) falsa ou sem sentido. Vou demonstrar com um contraexemplo concreto para fixar a intuição.
Passo 4
Contraexemplo explícito — mostro uma função e escolhas de [u,w,L) que deixam a equivalência falsa.
Defina a função
Escolha
e
. Agora avalio os limites:
- Para o limite à esquerda em
:
porque para todo
suficientemente próximo de
temos
.
- Para o limite bilateral em
:
não existe, porque o limite à esquerda vale
e o limite à direita vale
; os dois lados não coincidem. Em particular não é verdade que
.
Agora veja a equivalência proposta (corrigindo a notação para algo legível): a afirmação “
se, e somente se,
” com
fica:
- A segunda parte
é verdadeira (vemos acima). - A primeira parte
é falsa (o limite bilateral não existe).
Portanto a equivalência “se e somente se” falha: a direita é verdadeira enquanto a esquerda é falsa. Logo a afirmativa é falsa.
Esse contraexemplo é bem simples e suficiente para mostrar que, sem hipóteses adicionais ligando
a
e
a
e sem exigir igualdade dos limites laterais, a equivalência não é válida.]
Passo 5
Observação corretiva e didática (para a prova, o que realmente é correto e útil lembrar):
- A forma correta e útil de relacionar limite bilateral e limites laterais é:
Isto é, o limite bilateral em
existe e vale
exatamente quando ambos os limites laterais existem e são iguais a
.
- Portanto, qualquer afirmação do tipo “
sse ” só poderia ser verdadeira em circunstâncias muito especiais (por exemplo, se e e ainda houver garantia de que o limite à direita também vale ). Mas o enunciado dado não forneceu tais hipóteses, então não é verdadeiro em geral.
Resposta
F