Determine a equação do plano tangente e da reta normal às superfícies nos pontos dados: x^{2}+y^{2}+z^{2}=169, P=(3,4,12).
Passo 1
O enunciado dá a superfície e o ponto:
Superfície: x^{2}+y^{2}+z^{2}=169.
Ponto: P=(3,4,12), que pertence à superfície (verificação: 3^{2}+4^{2}+12^{2}=9+16+144=169).
O que devemos encontrar:
A equação do plano tangente à superfície em P.
A equação da reta normal à superfície em P.
Passo 2
Ideia principal (sem jargões): uma superfície dada por uma equação do tipo F(x,y,z)=\text{constante} tem um vetor normal em cada ponto dado pelo gradiente de F. Esse vetor normal é perpendicular ao plano tangente. Então para achar o plano tangente calculamos o gradiente de uma função que define a superfície e avaliamos no ponto P; depois usamos a condição “vetor normal · (posição - posição do ponto) = 0” para escrever a equação do plano.
Explicando o gradiente de forma simples:
Se F(x,y,z) é uma função, o gradiente \nabla F é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais: \nabla F=(\partial F/\partial x,\;\partial F/\partial y,\;\partial F/\partial z).
Geometricamente, \nabla F aponta na direção de maior crescimento de F e é perpendicular às curvas de nível; no caso de uma superfície de nível F(x,y,z)= constante, \nabla F é normal à superfície.
Passo 3
Escolher F que define a superfície. Aqui é natural tomar
Somando os termos constantes: -18-32-288=-338. Então
6x+8y+24z-338=0.
Podemos simplificar dividindo por 2:
3x+4y+12z-169=0.
Portanto a forma mais simples da equação do plano tangente é
3x+4y+12z=169.
Comentário de verificação (útil na prova): substituindo x=3,y=4,z=12 obtém-se 3\cdot3+4\cdot4+12\cdot12=9+16+144=169, ou seja, o ponto P pertence ao plano, como deve ser.
Passo 5
Encontrar a reta normal. A reta normal passa por [P) e tem direção dada pelo vetor normal (6,8,24). Podemos usar uma versão simplificada do vetor direção dividindo por 2: (3,4,12) também é um vetor de direção válido.
Escrever a reta em forma paramétrica com parâmetro t: