Determine a equação do plano tangente e da reta normal às superfícies nos pontos dados:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=169, P=(3,4,12).

Passo 1

O enunciado dá a superfície e o ponto:
  • Superfície: x^{2}+y^{2}+z^{2}=169.
  • Ponto: P=(3,4,12), que pertence à superfície (verificação: 3^{2}+4^{2}+12^{2}=9+16+144=169).
O que devemos encontrar:
  • A equação do plano tangente à superfície em P.
  • A equação da reta normal à superfície em P.

Passo 2

Ideia principal (sem jargões): uma superfície dada por uma equação do tipo F(x,y,z)=\text{constante} tem um vetor normal em cada ponto dado pelo gradiente de F. Esse vetor normal é perpendicular ao plano tangente. Então para achar o plano tangente calculamos o gradiente de uma função que define a superfície e avaliamos no ponto P; depois usamos a condição “vetor normal · (posição - posição do ponto) = 0” para escrever a equação do plano.
Explicando o gradiente de forma simples:
  • Se F(x,y,z) é uma função, o gradiente \nabla F é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais: \nabla F=(\partial F/\partial x,\;\partial F/\partial y,\;\partial F/\partial z).
  • Geometricamente, \nabla F aponta na direção de maior crescimento de F e é perpendicular às curvas de nível; no caso de uma superfície de nível F(x,y,z)= constante, \nabla F é normal à superfície.

Passo 3

Escolher F que define a superfície. Aqui é natural tomar
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
A superfície é o nível F(x,y,z)=169.
Calcular o gradiente:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right) = (2x,\,2y,\,2z).
Avaliar o gradiente no ponto P=(3,4,12):
\nabla F(3,4,12)=(2\cdot3,\;2\cdot4,\;2\cdot12)=(6,8,24).
Esse vetor (6,8,24) é normal à superfície no ponto P e, portanto, normal ao plano tangente em P.

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal. A equação ponto-normal do plano é:
\nabla F(3,4,12)\cdot\big((x,y,z)-(3,4,12)\big)=0.
Substituindo o vetor normal:
(6,8,24)\cdot(x-3,y-4,z-12)=0.
Fazendo o produto escalar e desenvolvendo:
6(x-3)+8(y-4)+24(z-12)=0.
Agora expandir os termos:
6x-18+8y-32+24z-288=0.
Somando os termos constantes: -18-32-288=-338. Então
6x+8y+24z-338=0.
Podemos simplificar dividindo por 2:
3x+4y+12z-169=0.
Portanto a forma mais simples da equação do plano tangente é
3x+4y+12z=169.
Comentário de verificação (útil na prova): substituindo x=3,y=4,z=12 obtém-se 3\cdot3+4\cdot4+12\cdot12=9+16+144=169, ou seja, o ponto P pertence ao plano, como deve ser.

Passo 5

Encontrar a reta normal. A reta normal passa por [P) e tem direção dada pelo vetor normal (6,8,24). Podemos usar uma versão simplificada do vetor direção dividindo por 2: (3,4,12) também é um vetor de direção válido.
Escrever a reta em forma paramétrica com parâmetro t:
\begin{cases} x=3+3t,\\[4pt] y=4+4t,\\[4pt] z=12+12t, \end{cases}
onde t\in\mathbb{R}\]. (Para \(t=0 recupera-se o ponto P.)
Se preferir a forma simétrica:
\frac{x-3}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-12}{12}.]

Resposta

3x+4y+12z=169
\displaystyle x=3+3t,\quad y=4+4t,\quad z=12+12t,\\ t\in\mathbb{R}

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