Determine a equação do plano tangente e da reta normal às superfícies nos pontos dados:
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície e o ponto e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- Superfície:
. - Ponto:
(verificar que está sobre a superfície).
Perguntas:
- Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto
. - Determinar a equação da reta normal à superfície que passa por
.
Passo 2
Entendendo a ferramenta principal: derivadas parciais e aproximação linear.
- Para uma função
, as derivadas parciais e medem a taxa de variação de quando mexemos só em ou só em . - A aproximação linear (reta/plano tangente) perto de
é
Essa fórmula dá diretamente a equação do plano tangente:
Agora aplicamos ao nosso
.
Calcular as derivadas parciais:
Calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Verificando que o
do ponto bate com :
portanto
pertence à superfície (ok).
- Avaliando as derivadas:
Passo 4
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da aproximação linear.
Usando , temos
Usando
Substituindo os valores:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Também é útil escrever na forma padrão (todos os termos do mesmo lado):
Passo 5
Entender a reta normal: direção e equação.
- Para a superfície definida por
, o vetor gradiente é normal à superfície. - Aqui
. Alternativamente, o vetor também é normal (é múltiplo por ).
No pontotemos e , então um vetor normal é
Podemos usar também
(trocar o sinal) — ambos apontam na mesma reta.
Passo 6
Equação paramétrica da reta normal passando por
Verificação rápida: para
. Se preferir a forma simétrica,