Determine a equação do plano tangente e da reta normal às superfícies nos pontos dados:
z=2\left(x^{2}+y^{2}\right), P=(-1,1,4).

Passo 1

O enunciado dá a superfície e o ponto e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • Superfície: z=2\left(x^{2}+y^{2}\right).
  • Ponto: P=(-1,1,4) (verificar que P está sobre a superfície).
    Perguntas:
  1. Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto P.
  2. Determinar a equação da reta normal à superfície que passa por P.

Passo 2

Entendendo a ferramenta principal: derivadas parciais e aproximação linear.
  • Para uma função \,z=f(x,y)\,, as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} medem a taxa de variação de f quando mexemos só em x ou só em y.
  • A aproximação linear (reta/plano tangente) perto de (x_0,y_0) é
f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).
Essa fórmula dá diretamente a equação do plano tangente:
z - f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).
Agora aplicamos ao nosso f(x,y)=2(x^2+y^2).
Calcular as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x} \bigl(2(x^2+y^2)\bigr)=2\cdot 2x=4x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y} \bigl(2(x^2+y^2)\bigr)=2\cdot 2y=4y.

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(-1,1,4).
  • Verificando que o z do ponto bate com f(-1,1):
f(-1,1)=2\bigl((-1)^2+1^2\bigr)=2(1+1)=4,
portanto P pertence à superfície (ok).
  • Avaliando as derivadas:
f_x(-1,1)=4\cdot(-1)=-4,
f_y(-1,1)=4\cdot 1=4.

Passo 4

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da aproximação linear.
Usando (x_0,y_0,z_0)=(-1,1,4), temos
z-4 = f_x(-1,1)\,(x-(-1)) + f_y(-1,1)\,(y-1).
Substituindo os valores:
z-4 = (-4)(x+1) + 4(y-1).
Desenvolvendo:
z-4 = -4x-4 +4y-4 = -4x+4y-8.
Isolando z:
z = -4x+4y-8+4 = -4x+4y-4.
Também é útil escrever na forma padrão (todos os termos do mesmo lado):
4x -4y + z +4 = 0.

Passo 5

Entender a reta normal: direção e equação.
  • Para a superfície definida por F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, o vetor gradiente \nabla F é normal à superfície.
  • Aqui \nabla F = (-f_x,-f_y,1). Alternativamente, o vetor (f_x,f_y,-1) também é normal (é múltiplo por -1).
    No ponto P temos f_x(-1,1)=-4 e f_y(-1,1)=4, então um vetor normal é
\mathbf{n}=(f_x,f_y,-1)=(-4,4,-1).
Podemos usar também (4,-4,1) (trocar o sinal) — ambos apontam na mesma reta.

Passo 6

Equação paramétrica da reta normal passando por P\). Tomando como vetor direção \(\mathbf{d}=(4,-4,1)\) (escolha conveniente), a reta normal por \(P=(-1,1,4)\) em parâmetro \(t\) é \[\begin{cases} x(t) = -1 + 4t,\\[4pt] y(t) = 1 - 4t,\\[4pt] z(t) = 4 + t. \end{cases}
Verificação rápida: para t=0\] recupera \(P. Se preferir a forma simétrica,
\frac{x+1}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z-4}{1}.]

Resposta

z=-4x+4y-4
\displaystyle x=-1+4t,\quad y=1-4t,\quad z=4+t

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