Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, demonstre as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas: ( 1,5 cada)
A) Toda sequência limitada é convergente.
B) Toda sequência limitada que admite infinitos valores de x_{n} é convergente.
C) Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos três afirmações sobre sequências: A) toda sequência limitada é convergente; B) toda sequência limitada com infinitos valores distintos é convergente; C) toda subsequência de sequência convergente é convergente. Para resolver, vamos usar:
  1. definição de sequência limitada: existe M>0 tal que |x_n|\le M para todo n;
  2. definição de convergência: (x_n)\to L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N;
  3. definição de subsequência: (x_{n_k}) onde n_1<n_2<\cdots.

Passo 2

Analisando A: “Toda sequência limitada é convergente.”
Isso seria o recíproco de “toda sequência convergente é limitada”, mas o recíproco é falso. Um contraexemplo clássico é
x_n = (-1)^n.
Essa sequência satisfaz |x_n|=1 (é limitada), mas não converge, pois oscila entre -1 e +1 sem ter um único limite. Logo, A é falsa.

Passo 3

Analisando B: “Toda sequência limitada com infinitos valores distintos é convergente.”
Mesmo impondo infinitos valores distintos, não há garantia de convergência. Considere
x_n = \sin(n).
Temos \sin(n)\in[-1,1], logo (x_n) é limitada, e os valores \sin(n) são infinitos e sem padrão de convergência. Não existe L tal que \sin(n)\to L. Portanto, B é falsa.

Passo 4

Analisando C: “Toda subsequência de sequência convergente é convergente.”
Seja (x_n)\to L. Dado \varepsilon>0, existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Como a subsequência (x_{n_k}) satisfaz n_k\to\infty, existe k_0 tal que n_k\ge N para todo k\ge k_0. Logo, para k\ge k_0,
|x_{n_k}-L|<\varepsilon,
o que mostra (x_{n_k})\to L. Assim, C é verdadeira.

Resposta

A) Falsa. Contraexemplo: x_n = (-1)^n.
B) Falsa. Contraexemplo: x_n = \sin(n).
C) Verdadeira. Demonstrado que qualquer subsequência herda o limite da sequência original.

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