Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, demonstre as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas: ( 1,5 cada)
A) Toda sequência limitada é convergente.
B) Toda sequência limitada que admite infinitos valores de
é convergente.
C) Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.
A) Toda sequência limitada é convergente.
B) Toda sequência limitada que admite infinitos valores de
C) Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos três afirmações sobre sequências: A) toda sequência limitada é convergente; B) toda sequência limitada com infinitos valores distintos é convergente; C) toda subsequência de sequência convergente é convergente. Para resolver, vamos usar:
- definição de sequência limitada: existe
tal que para todo ; - definição de convergência:
se, para todo , existe tal que para todo ; - definição de subsequência:
onde .
Passo 2
Analisando A: “Toda sequência limitada é convergente.”
Isso seria o recíproco de “toda sequência convergente é limitada”, mas o recíproco é falso. Um contraexemplo clássico é
Isso seria o recíproco de “toda sequência convergente é limitada”, mas o recíproco é falso. Um contraexemplo clássico é
Essa sequência satisfaz
(é limitada), mas não converge, pois oscila entre
e
sem ter um único limite. Logo, A é falsa.
Passo 3
Analisando B: “Toda sequência limitada com infinitos valores distintos é convergente.”
Mesmo impondo infinitos valores distintos, não há garantia de convergência. Considere
Mesmo impondo infinitos valores distintos, não há garantia de convergência. Considere
Temos
, logo
é limitada, e os valores
são infinitos e sem padrão de convergência. Não existe
tal que
. Portanto, B é falsa.
Passo 4
Analisando C: “Toda subsequência de sequência convergente é convergente.”
Seja . Dado
, existe
tal que
para todo
. Como a subsequência
satisfaz
, existe
tal que
para todo
. Logo, para
,
Seja
o que mostra
. Assim, C é verdadeira.
Resposta
A) Falsa. Contraexemplo:
.
B) Falsa. Contraexemplo: .
C) Verdadeira. Demonstrado que qualquer subsequência herda o limite da sequência original.
B) Falsa. Contraexemplo:
C) Verdadeira. Demonstrado que qualquer subsequência herda o limite da sequência original.