Calcule cada uma das integrais abaixo.
\frac{2 x}{\left(9-x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x}{(9 - x^{2})^{2}} \,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos uma função racional em que o numerador é a derivada (à esquerda de um sinal) do denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 9 - x^{2}.
Então, ao derivar, obtemos
du = -2x \,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,du = 2x \,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{2x}{(9 - x^{2})^{2}} \,dx = \int \frac{-\,du}{u^{2}} = - \int u^{-2} \,du.

Passo 4

Integramos a potência de u:
- \int u^{-2} \,du = - \biggl(\frac{u^{-1}}{-1}\biggr) + C = u^{-1} + C = \frac{1}{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 9 - x^{2} para obter a antiderivada final:
\frac{1}{9 - x^{2}} + C.

Resposta

\int \frac{2x}{(9 - x^{2})^{2}} \,dx = \frac{1}{9 - x^{2}} + C.

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