Seja
. Mostre que
e
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
e
.
O conteúdo aqui é análise de sequência real e conceitos de ínfimo e supremo de um conjunto em . Usaremos a monotonicidade e o limite da sequência
.
e
O conteúdo aqui é análise de sequência real e conceitos de ínfimo e supremo de um conjunto em
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente. Calculemos
Colocando em denominação comum:
Logo
para todo
, ou seja, a sequência é crescente.
Passo 3
Como a sequência é crescente e
começa em
, o menor termo ocorre em
:
Isto mostra que
é o mínimo de
e, portanto,
.
Passo 4
Para o supremo, calculemos o limite quando
:
Como todos os termos satisfazem
e, para qualquer
, basta escolher
suficientemente grande para ter
, concluímos que
é o menor majorante de
. Logo
.