Seja A=\left\{\frac{4 n}{2 n+1} ; n \in N\right\}. Mostre que \inf \mathrm{A}=4 / 3 e \sup \mathrm{A}=2 .(2,0)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \left\{\frac{4n}{2n+1} \;|\; n\in\mathbb{N}\right\}
e pede para mostrar que
\inf A = \tfrac{4}{3}
e
\sup A = 2.
O conteúdo aqui é análise de sequência real e conceitos de ínfimo e supremo de um conjunto em \mathbb{R}. Usaremos a monotonicidade e o limite da sequência a_n = \tfrac{4n}{2n+1}.

Passo 2

Mostramos que \{a_n\} é estritamente crescente. Calculemos
a_{n+1} - a_n = \frac{4(n+1)}{2(n+1)+1} - \frac{4n}{2n+1} = \frac{4n+4}{2n+3} - \frac{4n}{2n+1}.
Colocando em denominação comum:
a_{n+1}-a_n = \frac{(4n+4)(2n+1) - 4n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{8n^2 +12n +4 -8n^2 -12n}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{4}{(2n+3)(2n+1)} > 0.
Logo a_{n+1}>a_n para todo n, ou seja, a sequência é crescente.

Passo 3

Como a sequência é crescente e n\in\mathbb{N} começa em 1, o menor termo ocorre em n=1:
a_1 = \frac{4\cdot1}{2\cdot1+1} = \frac{4}{3}.
Isto mostra que \frac{4}{3} é o mínimo de A e, portanto,
\inf A = \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Para o supremo, calculemos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{4n}{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{2 + \tfrac1n} = \frac{4}{2} = 2.
Como todos os termos satisfazem a_n<2 e, para qualquer M<2, basta escolher n suficientemente grande para ter a_n>M, concluímos que 2 é o menor majorante de A. Logo
\sup A = 2.

Resposta

\inf A = \tfrac{4}{3}
\sup A = 2

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