use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=6 e^{3 t}-3 e^{-t}, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O problema pede para resolver, via transformada de Laplace, o valor inicial
y'' - 4y' = 6e^{3t} - 3e^{-t},\quad y(0)=1,\;y'(0)=-1.
O conteúdo é o uso da transformada de Laplace para equações diferenciais lineares com condições iniciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, denotando \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s). Usamos
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac1{s-a}.
Logo, a equação vira
\bigl(s^2Y - s\cdot1 -(-1)\bigr)\;-\;4\bigl(sY-1\bigr) \;=\;\frac{6}{s-3}-\frac{3}{s+1}.

Passo 3

Simplificando o lado esquerdo:
s^2Y - s +1 \;-\;4sY +4 \;=\;(s^2-4s)Y \;+\;(-s+5).
Assim
(s^2-4s)Y(s)-s+5=\frac{6}{s-3}-\frac{3}{s+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{\displaystyle \frac{6}{s-3}-\frac{3}{s+1}+s-5}{s(s-4)}.

Passo 4

Queremos escrever
Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-4}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+1}.
Multiplicando por s(s-4)(s-3)(s+1) e igualando em s=0,4,3,-1, encontra-se
A=\tfrac{5}{2},\quad B=\tfrac{11}{10},\quad C=-2,\quad D=-\tfrac{3}{5}.

Passo 5

Logo
Y(s)=\frac{5/2}{s}+\frac{11/10}{s-4}-\frac{2}{s-3}-\frac{3/5}{s+1}.
Aplicando a transformada inversa em cada termo, usamos
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s}\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}=e^{at}.

Passo 6

Assim a solução em t\ge0 é
y(t) = \frac{5}{2} + \frac{11}{10}\,e^{4t} -2\,e^{3t} - \frac{3}{5}\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=\frac{5}{2}+\frac{11}{10}e^{4t}-2e^{3t}-\frac{3}{5}e^{-t}.

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