Seja
. Mostre que
e
Passo 1
O enunciado considera o conjunto
e pede para mostrar que
e
. O conteúdo envolve as definições de cota inferior e cota superior, além da densidade de
em
.
Passo 2
Prova de
:
— Primeiro, porque
é racional e pertence a
.
— Logo é um minorante de
atingido, o que implica que
.
— Para ver que não existe cota inferior maior que , note que, se
, então
e como
conclui-se que
não pode ser cota inferior de
.
— Primeiro,
— Logo
— Para ver que não existe cota inferior maior que
Passo 3
Prova de
:
— Qualquer satisfaz
, logo
é cota superior de
.
— Se , pela densidade de
existe
tal que
— Qualquer
— Se
e assim
. Portanto, nenhum número menor que
é cota superior de
.