Seja \mathrm{A}=\mathrm{Q} \cap[-1, \pi]. Mostre que \inf \mathrm{A}=-1 e \sup \mathrm{A}=\pi .(2,0)

Passo 1

O enunciado considera o conjunto
A = \mathbb{Q}\cap[-1,\pi]
e pede para mostrar que \inf A=-1 e \sup A=\pi. O conteúdo envolve as definições de cota inferior e cota superior, além da densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}.

Passo 2

Prova de \inf A=-1:
— Primeiro, -1\in A porque -1 é racional e pertence a [-1,\pi].
— Logo -1 é um minorante de A atingido, o que implica que \inf A=-1.
— Para ver que não existe cota inferior maior que -1, note que, se x>-1, então -1<x e como -1\in A conclui-se que x não pode ser cota inferior de A.

Passo 3

Prova de \sup A=\pi:
— Qualquer q\in A satisfaz q\le\pi, logo \pi é cota superior de A.
— Se b<\pi, pela densidade de \mathbb{Q} existe q\in\mathbb{Q} tal que
b<q<\pi,
e assim q\in A. Portanto, nenhum número menor que \pi é cota superior de A.

Resposta

\inf A=-1 e \sup A=\pi

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