Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
Toda sequência limitada é monótona.
Toda sequência limitada é monótona.
Passo 1
Enunciado: analisar se a afirmação “Toda sequência limitada é monótona” é verdadeira ou falsa.
O que se pede: decidir verdade/falsidade e justificar com prova (se for verdadeira) ou contraexemplo (se for falsa).
Informações dadas: a afirmação é universal (diz respeito a “toda sequência limitada”), então basta um único contraexemplo para refutá‑la.
O que se pede: decidir verdade/falsidade e justificar com prova (se for verdadeira) ou contraexemplo (se for falsa).
Informações dadas: a afirmação é universal (diz respeito a “toda sequência limitada”), então basta um único contraexemplo para refutá‑la.
Passo 2
Definições necessárias (explicadas devagar, como numa aulinha):
Definição de sequência limitada: uma sequência é limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Ou seja, todos os termos ficam dentro do intervalo
. Isso significa que os termos não crescem indefinidamente em módulo.
Exemplo simples: se todos os termos são ou
, então basta
para ver que a sequência é limitada.
Definição de sequência limitada: uma sequência
Exemplo simples: se todos os termos são
Passo 3
Definição de sequência monótona (vamos distinguir os tipos e explicar por que é importante):
Sequência monótona crescente (mais precisamente, não decrescente): é tal que
Sequência monótona crescente (mais precisamente, não decrescente):
Sequência monótona decrescente (não crescente):
é tal que
Quando dizemos “monótona” sem especificar, normalmente queremos dizer que é ou crescente ou decrescente (isto é, verifica uma das duas propriedades acima para todo
). Importante: ser limitada e ser monótona são propriedades diferentes; uma não implica automaticamente a outra.
Passo 4
Estratégia lógica para decidir a afirmação universal:
A afirmação diz “toda sequência limitada é monótona”. Para refutá‑la (mostrar que é falsa) basta encontrar uma sequência que seja limitada e que não seja monótona (nem crescente nem decrescente). Não precisamos provar algo para todas as sequências — um contraexemplo é suficiente.
A afirmação diz “toda sequência limitada é monótona”. Para refutá‑la (mostrar que é falsa) basta encontrar uma sequência que seja limitada e que não seja monótona (nem crescente nem decrescente). Não precisamos provar algo para todas as sequências — um contraexemplo é suficiente.
Passo 5
Construção do contraexemplo (escolha intuitiva e fácil de manipular): considere a sequência
Vamos escrever os primeiros termos para “ver com os olhos”:
,
,
,
, etc. A sequência alterna entre
e
.
Passo 6
Verificação de que o contraexemplo é limitado: para todo
vale
logo
para todo
. Portanto a sequência
é limitada (podemos tomar
).
Passo 7
Verificação de que o contraexemplo não é monótono:
- Para ser monótona crescente (não decrescente) seria necessário
para todo . Mas observe: e , então (ok nesse ponto), porém e dão . Assim não é verdade que para todo . - Para ser monótona decrescente (não crescente) seria necessário
para todo . Mas e dão , o que viola .
Portantonão é crescente nem decrescente; isto é, não é monótona.
Passo 8
Conclusão e comentário didático: a sequência
é limitada e não monótona; isso basta para concluir que a afirmação “Toda sequência limitada é monótona” é falsa. Dica de prova/controle na prova: quando vir uma afirmação universal sobre sequências, tente lembrar de contraexemplos clássicos — sequências que oscilam (como
) ou
são ótimas escolhas para mostrar que limitar não força monotonicidade. Observação adicional útil: existe um teorema verdadeiramente importante e o oposto mais confundido — o Teorema da Convergência Monótona diz que toda sequência monótona e limitada converge; isso é verdadeiro. Mas a conversão inversa (toda sequência limitada é monótona) é falsa, como mostramos.
Resposta
Falsa. Contraexemplo:
é limitada (
para todo
) e não é monótona (os termos alternam entre
e
).