Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
Toda sequência limitada é monótona.

Passo 1

Enunciado: analisar se a afirmação “Toda sequência limitada é monótona” é verdadeira ou falsa.
O que se pede: decidir verdade/falsidade e justificar com prova (se for verdadeira) ou contraexemplo (se for falsa).
Informações dadas: a afirmação é universal (diz respeito a “toda sequência limitada”), então basta um único contraexemplo para refutá‑la.

Passo 2

Definições necessárias (explicadas devagar, como numa aulinha):
Definição de sequência limitada: uma sequência (a_n) é limitada se existe um número real M>0 tal que |a_n|\le M para todo n. Ou seja, todos os termos ficam dentro do intervalo [-M,M]. Isso significa que os termos não crescem indefinidamente em módulo.
Exemplo simples: se todos os termos são 1 ou -1, então basta M=1 para ver que a sequência é limitada.

Passo 3

Definição de sequência monótona (vamos distinguir os tipos e explicar por que é importante):
Sequência monótona crescente (mais precisamente, não decrescente): (a_n) é tal que
a_{n+1}\ge a_n\quad\text{para todo }n.
Sequência monótona decrescente (não crescente): (a_n) é tal que
a_{n+1}\le a_n\quad\text{para todo }n.
Quando dizemos “monótona” sem especificar, normalmente queremos dizer que é ou crescente ou decrescente (isto é, verifica uma das duas propriedades acima para todo n). Importante: ser limitada e ser monótona são propriedades diferentes; uma não implica automaticamente a outra.

Passo 4

Estratégia lógica para decidir a afirmação universal:
A afirmação diz “toda sequência limitada é monótona”. Para refutá‑la (mostrar que é falsa) basta encontrar uma sequência que seja limitada e que não seja monótona (nem crescente nem decrescente). Não precisamos provar algo para todas as sequências — um contraexemplo é suficiente.

Passo 5

Construção do contraexemplo (escolha intuitiva e fácil de manipular): considere a sequência
a_n = (-1)^n,\quad n=1,2,3,\dots
Vamos escrever os primeiros termos para “ver com os olhos”: a_1 = -1, a_2 = 1, a_3 = -1, a_4 = 1, etc. A sequência alterna entre -1 e 1.

Passo 6

Verificação de que o contraexemplo é limitado: para todo n vale
|a_n| = |(-1)^n| = 1,
logo |a_n|\le 1 para todo n. Portanto a sequência (a_n) é limitada (podemos tomar M=1).

Passo 7

Verificação de que o contraexemplo não é monótono:
  • Para ser monótona crescente (não decrescente) seria necessário a_{n+1}\ge a_n para todo n. Mas observe: a_1=-1 e a_2=1, então a_2>a_1 (ok nesse ponto), porém a_3=-1 e a_2=1 dão a_3<a_2. Assim não é verdade que a_{n+1}\ge a_n para todo n.
  • Para ser monótona decrescente (não crescente) seria necessário a_{n+1}\le a_n para todo n. Mas a_1=-1 e a_2=1 dão a_2>a_1, o que viola a_{n+1}\le a_n.
    Portanto (a_n) não é crescente nem decrescente; isto é, não é monótona.

Passo 8

Conclusão e comentário didático: a sequência (a_n)=(-1)^n é limitada e não monótona; isso basta para concluir que a afirmação “Toda sequência limitada é monótona” é falsa. Dica de prova/controle na prova: quando vir uma afirmação universal sobre sequências, tente lembrar de contraexemplos clássicos — sequências que oscilam (como (-1)^n) ou \sin n são ótimas escolhas para mostrar que limitar não força monotonicidade. Observação adicional útil: existe um teorema verdadeiramente importante e o oposto mais confundido — o Teorema da Convergência Monótona diz que toda sequência monótona e limitada converge; isso é verdadeiro. Mas a conversão inversa (toda sequência limitada é monótona) é falsa, como mostramos.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: a_n = (-1)^n é limitada ( |a_n|=1 para todo n) e não é monótona (os termos alternam entre -1 e 1).

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