Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
O raio de convergência da série da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 x-5)^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}} é infinito.
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação “O raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 x-5)^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}} é infinito” é verdadeira ou falsa, e justificar a resposta.
Queremos analisar o raio de convergência dessa série tratada como série em x (ou equivalentemente em 3x-5).
Passo 2
Conceito necessário (explicado com calma): o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_n (x-x_0)^n é o número tal que a série converge para |x-x_0|<R e diverge para |x-x_0|>R. Uma maneira prática de calcular R é usar a fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
quando a série está na forma \sum a_n (x-x_0)^n. Vou aplicar essa ideia à série dada.
Agora avalio o comportamento de (n!)^{1/n} quando n\to\infty. Uma estimativa simples e rigorosa (evitando Stirling) é: para n\ge 2 existem pelo menos n/2 fatores no produto n!=1\cdot2\cdots n que são maiores ou iguais a n/2. Logo
n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}.
Tomando potência 1/n em ambos os lados,
(n!)^{1/n} \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{1/2}.
Como \left(\frac{n}{2}\right)^{1/2}\to\infty quando n\to\infty, segue que (n!)^{1/n}\to\infty. Portanto