Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
O raio de convergência da série da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 x-5)^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}} é infinito.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação “O raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 x-5)^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}} é infinito” é verdadeira ou falsa, e justificar a resposta.
Informações dadas:
\text{Série: }\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 x-5)^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}}.é
Queremos analisar o raio de convergência dessa série tratada como série em x (ou equivalentemente em 3x-5).

Passo 2

Conceito necessário (explicado com calma): o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_n (x-x_0)^n é o número tal que a série converge para |x-x_0|<R e diverge para |x-x_0|>R. Uma maneira prática de calcular R é usar a fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
quando a série está na forma \sum a_n (x-x_0)^n. Vou aplicar essa ideia à série dada.

Passo 3

Para simplificar, faço a substituição linear
y=3x-5.
A série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n y^{2n}}{4^{n}(n!)^{2}}.
Podemos ver isso como uma série de potências em y centrada em y=0. Os coeficientes dessa série em y são
c_{2n}=\frac{(-1)^n}{4^{n}(n!)^{2}},\qquad c_{2n+1}=0.

Passo 4

Calculo o raio de convergência em y. Pelo critério do raio:
R_y=\frac{1}{\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|c_m|}}.
Como os coeficientes ímpares são zero, o \limsup é dado pela subsequência par. Para m=2n temos
\sqrt[2n]{|c_{2n}|}=\sqrt[2n]{\frac{1}{4^{n}(n!)^{2}}} =\left(\frac{1}{4^{n}}\right)^{1/(2n)}\left(\frac{1}{(n!)^{2}}\right)^{1/(2n)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(n!)^{1/n}}.

Passo 5

Agora avalio o comportamento de (n!)^{1/n} quando n\to\infty. Uma estimativa simples e rigorosa (evitando Stirling) é: para n\ge 2 existem pelo menos n/2 fatores no produto n!=1\cdot2\cdots n que são maiores ou iguais a n/2. Logo
n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}.
Tomando potência 1/n em ambos os lados,
(n!)^{1/n} \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{1/2}.
Como \left(\frac{n}{2}\right)^{1/2}\to\infty quando n\to\infty, segue que (n!)^{1/n}\to\infty. Portanto
\frac{1}{(n!)^{1/n}} \to 0.
Assim
\sqrt[2n]{|c_{2n}|}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(n!)^{1/n}}\longrightarrow 0.
Portanto \limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|c_m|}=0.

Passo 6

Com \limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|c_m|}=0 obtemos
R_y=\frac{1}{0}=\infty.
Isto significa que a série em y converge para todo y\in\mathbb{R} (converge absolutamente para todo y).

Passo 7

Retornando à variável x, temos y=3x-5=3\bigl(x-\tfrac{5}{3}\bigr). A relação entre raios é R_x=R_y/3. Como R_y=\infty, segue que
R_x=\frac{\infty}{3}=\infty.
Alternativamente, pode-se ver diretamente pelas estimativas do termo geral (ou pelo teste da razão)
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{\bigl((3x-5)^2/4\bigr)^{n+1}/((n+1)!)^{2}}{\bigl((3x-5)^2/4\bigr)^{n}/(n!)^{2}} =\frac{(3x-5)^2}{4}\cdot\frac{1}{(n+1)^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0<1,
o que mostra convergência absoluta para todo x. Isso confirma que o raio é infinito.

Passo 8

Conclusão final: a afirmação é verdadeira — a série converge para todo x, portanto seu raio de convergência é infinito.

Resposta

Verdadeiro.

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