Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
A série \sum_{n=1}^{\infty} 2^{2 n} 9^{1-n} é convergente e sua soma é igual a \frac{36}{5}.
Passo 1
O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{2 n} 9^{1-n}
e pede que eu analise se a afirmação "a série é convergente e sua soma é igual a \frac{36}{5}" é verdadeira ou falsa.
Informações dadas:
\text{termo geral } a_n = 2^{2n} 9^{1-n}.
O que se pede:
Determinar se a série converge ou diverge.
Caso convergente, calcular a soma e verificar se é \frac{36}{5}.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral passo a passo (sempre mostrando o que cada transformação faz). Primeiro, observe que \;2^{2n}=(2^2)^n=4^n\;. Em seguida,
Agora reconhecemos o tipo da série e a regra de convergência (vou explicar isso com calma). A expressão \sum_{n=1}^{\infty} 9\left(\frac{4}{9}\right)^n é uma série geométrica com termos da forma C r^n, onde:
C=9 é uma constante multiplicativa,
r=\frac{4}{9} é a razão da progressão geométrica.
Regra importante (que vou provar rápido porque é útil em prova): para uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^n,
se |r|<1, então \sum_{n=1}^{\infty} r^n converge;
se |r|\ge 1, diverge.
Prova curta do caso |r|<1: o somatório parcial S_N=\sum_{n=1}^N r^n. Multiplicando por r e subtraindo,
S_N - r S_N = r + r^2 + \cdots + r^N - (r^2 + r^3 + \cdots + r^{N+1}) = r - r^{N+1}.
Conclusão e verificação: mostramos que a razão da série geométrica é \frac{4}{9} com |\frac{4}{9}|<1, então a série converge, e o cálculo da soma dá exatamente \frac{36}{5}. Portanto a afirmação do enunciado é correta.