Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
A série \sum_{n=1}^{\infty} 2^{2 n} 9^{1-n} é convergente e sua soma é igual a \frac{36}{5}.

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{2 n} 9^{1-n}
e pede que eu analise se a afirmação "a série é convergente e sua soma é igual a \frac{36}{5}" é verdadeira ou falsa.
Informações dadas:
\text{termo geral } a_n = 2^{2n} 9^{1-n}.
O que se pede:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Caso convergente, calcular a soma e verificar se é \frac{36}{5}.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral passo a passo (sempre mostrando o que cada transformação faz). Primeiro, observe que \;2^{2n}=(2^2)^n=4^n\;. Em seguida,
9^{1-n}=9\cdot 9^{-n}=9\left(\frac{1}{9}\right)^n.
Multiplicando essas expressões:
a_n = 2^{2n} 9^{1-n} = 4^n \cdot 9\left(\frac{1}{9}\right)^n = 9\cdot \left(\frac{4}{9}\right)^n.
Portanto a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} 9\left(\frac{4}{9}\right)^n.

Passo 3

Agora reconhecemos o tipo da série e a regra de convergência (vou explicar isso com calma). A expressão \sum_{n=1}^{\infty} 9\left(\frac{4}{9}\right)^n é uma série geométrica com termos da forma C r^n, onde:
  • C=9 é uma constante multiplicativa,
  • r=\frac{4}{9} é a razão da progressão geométrica.
Regra importante (que vou provar rápido porque é útil em prova): para uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^n,
  • se |r|<1, então \sum_{n=1}^{\infty} r^n converge;
  • se |r|\ge 1, diverge.
Prova curta do caso |r|<1: o somatório parcial S_N=\sum_{n=1}^N r^n. Multiplicando por r e subtraindo,
S_N - r S_N = r + r^2 + \cdots + r^N - (r^2 + r^3 + \cdots + r^{N+1}) = r - r^{N+1}.
Logo
S_N = \frac{r - r^{N+1}}{1-r} = \frac{r(1 - r^N)}{1-r}.
Se |r|<1, então r^N \to 0 quando N\to\infty, logo
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}.
No nosso caso |r| = \left|\frac{4}{9}\right| = \frac{4}{9} < 1, então a série converge.

Passo 4

Agora calculamos a soma usando a fórmula da série geométrica. Partindo da forma já obtida:
\sum_{n=1}^{\infty} 9\left(\frac{4}{9}\right)^n = 9 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n.
Pela fórmula \sum_{n=1}^{\infty} r^n = \dfrac{r}{1-r} com r=\dfrac{4}{9}, temos
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n = \frac{\tfrac{4}{9}}{1-\tfrac{4}{9}} = \frac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{5}{9}} = \frac{4}{5}.
Multiplicando por 9,
\sum_{n=1}^{\infty} 9\left(\frac{4}{9}\right)^n = 9\cdot \frac{4}{5} = \frac{36}{5}.

Passo 5

Conclusão e verificação: mostramos que a razão da série geométrica é \frac{4}{9} com |\frac{4}{9}|<1, então a série converge, e o cálculo da soma dá exatamente \frac{36}{5}. Portanto a afirmação do enunciado é correta.

Resposta

Verdadeira.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{2 n} 9^{1-n} = \frac{36}{5}

Exercícios relacionados