Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
Informações dadas:
- O somatório vai de
até . - O termo geral é
. - Não há outras informações adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos entender que tipo de série é essa e quando ela tem soma finita (converge). Uma série com termos da forma
(ou
) é chamada comumente de série geométrica. Aqui o termo geral é exatamente
com
Condição de convergência: uma série geométrica infinita de termos
(com início em
) converge se e somente se
. Por que isso? Porque quando
, os termos
vão para zero quando
, e as somas parciais tendem a um limite finito; se
, os termos não vão a zero e a soma diverge.
Passo 3
Agora vou deduzir a fórmula da soma quando
. Seja
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Subtraindo essas duas igualdades:
Fatorando
, então, quando
,
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Aqui
é a razão comum da série (a quantidade que multiplica de um termo para o próximo).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso, com
(e verificando que
, logo a série converge), temos
Calcule passo a passo o denominador:
Agora a fração:
Passo 5
Para dar mais confiança, veja alguns somatórios parciais (aproximações):
essas somas vão aproximando-se de
, que é
. Isso confirma a convergência ao resultado encontrado.