Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Informações dadas:
  • O somatório vai de n=1 até n=\infty.
  • O termo geral é \left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
  • Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos entender que tipo de série é essa e quando ela tem soma finita (converge). Uma série com termos da forma r^{n} (ou ar^{n}) é chamada comumente de série geométrica. Aqui o termo geral é exatamente r^{n} com
r=\frac{1}{5}.
Condição de convergência: uma série geométrica infinita de termos r^{n} (com início em n=1) converge se e somente se |r|<1. Por que isso? Porque quando |r|<1, os termos r^{n} vão para zero quando n\to\infty, e as somas parciais tendem a um limite finito; se |r|\ge 1, os termos não vão a zero e a soma diverge.

Passo 3

Agora vou deduzir a fórmula da soma quando |r|<1. Seja
S=\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=r+r^{2}+r^{3}+\cdots.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS=r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots.
Subtraindo essas duas igualdades:
S - rS = (r+r^{2}+r^{3}+\cdots) - (r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots) = r.
Fatorando S(1-r)=r, então, quando |r|<1,
S=\frac{r}{1-r}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Aqui r é a razão comum da série (a quantidade que multiplica de um termo para o próximo).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, com r=\frac{1}{5} (e verificando que |r|=\frac{1}{5}<1, logo a série converge), temos
S=\frac{\dfrac{1}{5}}{1-\dfrac{1}{5}}.
Calcule passo a passo o denominador:
1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}.
Agora a fração:
S=\frac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{1}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Para dar mais confiança, veja alguns somatórios parciais (aproximações):
S_{1}=\frac{1}{5}=0{,}2,
S_{2}=\frac{1}{5}+\frac{1}{25}=0{,}24,
S_{3}=\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}=0{,}248,
essas somas vão aproximando-se de 0{,}25, que é \frac{1}{4}. Isso confirma a convergência ao resultado encontrado.

Resposta

\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados