Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede que, usando o teste de D’Alembert, verifiquemos se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}2^{n}}
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral da série é \displaystyle \frac{n+1}{n^{2}2^{n}} para n\ge 1. Não há outras condições ocultas.

Passo 2

Definimos o termo geral da sequência associada à série:
a_n = \frac{n+1}{n^{2}2^{n}}.
Observação simples e útil: todos os a_n são positivos para n\ge1, então podemos aplicar o teste de D’Alembert diretamente sem nos preocupar com valores absolutos adicionais.

Passo 3

Escrevemos o termo seguinte a_{n+1} para montar a razão:
a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}} = \frac{n+2}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}.

Passo 4

Calculamos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplificamos passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+2}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}}{\dfrac{n+1}{n^{2}2^{n}}} = \frac{n+2}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}\cdot\frac{n^{2}2^{n}}{n+1}.
Agora simplificamos os fatores de potências de 2 e juntamos os fatores em n:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{n^{2}}{n+1}\cdot\frac{2^{n}}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{n^{2}(n+2)}{(n+1)^{3}}.

Passo 5

Precisamos do limite quando n\to\infty dessa razão. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}(n+2)}{(n+1)^{3}}.
Para avaliar o limite da fração racional, dividimos numerador e denominador por n^{3} (ou observamos os termos de maior grau):
\frac{n^{2}(n+2)}{(n+1)^{3}}=\frac{n^{3}+2n^{2}}{n^{3}+3n^{2}+3n+1} \longrightarrow \frac{1}{1}=1\quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Recordando o teste de D’Alembert (razão): se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui encontramos L=\dfrac{1}{2}<1. Como além disso a_n\ge0, concluímos que a série converge (na verdade, converge absolutamente). Um jeito intuitivo de ver: o fator exponencial 2^{n} domina o polinômio em n, produzindo comportamento semelhante a uma série geométrica com razão \tfrac{1}{2}.

Resposta

A série converge absolutamente, pois \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}<1.

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