Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede que, usando o teste de D’Alembert, verifiquemos se a série
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral da série é
para
. Não há outras condições ocultas.
Passo 2
Definimos o termo geral da sequência associada à série:
Observação simples e útil: todos os
são positivos para
, então podemos aplicar o teste de D’Alembert diretamente sem nos preocupar com valores absolutos adicionais.
Passo 3
Escrevemos o termo seguinte
para montar a razão:
Passo 4
Calculamos a razão
e simplificamos passo a passo:
Agora simplificamos os fatores de potências de
e juntamos os fatores em
:
Passo 5
Precisamos do limite quando
dessa razão. Calculamos
Para avaliar o limite da fração racional, dividimos numerador e denominador por
(ou observamos os termos de maior grau):
Portanto
Passo 6
Recordando o teste de D’Alembert (razão): se
existe e
, então a série
converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo. Aqui encontramos
. Como além disso
, concluímos que a série converge (na verdade, converge absolutamente). Um jeito intuitivo de ver: o fator exponencial
domina o polinômio em
, produzindo comportamento semelhante a uma série geométrica com razão
.
Resposta
A série converge absolutamente, pois
.