Analise se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A expressão
equivale a
.
A expressão
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa e a justifique:
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é
. - A expressão à direita é
.
O objetivo: verificar se as duas expressões são idênticas para todos os(ou seja, se equivalem algebricamente).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a parte
. Usamos a regra dos expoentes:
Aqui
,
e
. Portanto
Passo 3
Substituindo na expressão original, o numerador fica
Agora fatoramos
como fator comum. Para justificar:
porque soma-se expoentes ao multiplicar potências de mesma base. Assim
Passo 4
Calcule
:
Logo o numerador simplifica para
Passo 5
Escrevendo agora a fração inteira com numerador e denominador simplificados:
Passo 6
Agora aplicamos duas regras:
- divisão de coeficientes numéricos:
; - regra de potências na divisão:
.
Aplicando:
Passo 7
Calcule
:
Portanto a expressão à esquerda simplifica-se, para qualquer
(desde que as potências estejam definidas), ao número
Passo 8
Compare com a expressão à direita:
Essa expressão depende de
(porque aparece
). Se as duas fossem iguais para todo
, a direita teria de ser igual a
para todo
. Verificamos rapidamente por contraprova com um valor concreto, por exemplo
:
o que é diferente de
. Também algebricamente, se fosse igual para todo
teríamos
o que leva a
impossível porque
. Assim há contradição.
Passo 9
Conclusão: a expressão da esquerda simplifica para
e a da direita não é igual a
para todo
. Logo a afirmativa de que as duas expressões são equivalentes é falsa.
Resposta
Falsa