Analise se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A expressão \frac{2^{n+3} cdot 2-2^{n-1} cdot 7}{5 cdot 2^{n-4}} equivale a \frac{16-7 cdot 2^{n-1}}{5}.

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa e a justifique:
\frac{2^{n+3}\cdot 2 - 2^{n-1}\cdot 7}{5\cdot 2^{n-4}}\quad\text{é igual a}\quad\frac{16-7\cdot 2^{n-1}}{5}?é
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é \dfrac{2^{n+3}\cdot 2 - 2^{n-1}\cdot 7}{5\cdot 2^{n-4}}.
  • A expressão à direita é \dfrac{16-7\cdot 2^{n-1}}{5}.
    O objetivo: verificar se as duas expressões são idênticas para todos os n (ou seja, se equivalem algebricamente).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a parte 2^{n+3}\cdot 2. Usamos a regra dos expoentes:
a^p\cdot a^q = a^{p+q}.
Aqui a=2, p=n+3 e q=1. Portanto
2^{n+3}\cdot 2 = 2^{n+3+1} = 2^{n+4}.

Passo 3

Substituindo na expressão original, o numerador fica
2^{n+4} - 7\cdot 2^{n-1}.
Agora fatoramos 2^{n-1} como fator comum. Para justificar: 2^{n+4} = 2^{n-1}\cdot 2^{5} porque soma-se expoentes ao multiplicar potências de mesma base. Assim
2^{n+4} - 7\cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}\bigl(2^{5} - 7\bigr).

Passo 4

Calcule 2^{5}-7:
2^{5}-7 = 32 - 7 = 25.
Logo o numerador simplifica para
25\cdot 2^{n-1}.

Passo 5

Escrevendo agora a fração inteira com numerador e denominador simplificados:
\frac{25\cdot 2^{n-1}}{5\cdot 2^{n-4}}.

Passo 6

Agora aplicamos duas regras:
  1. divisão de coeficientes numéricos: \dfrac{25}{5}=5;
  2. regra de potências na divisão: \dfrac{2^{a}}{2^{b}} = 2^{a-b}.
    Aplicando:
\frac{25\cdot 2^{n-1}}{5\cdot 2^{n-4}} = \frac{25}{5}\cdot 2^{(n-1)-(n-4)} =5\cdot 2^{3}.

Passo 7

Calcule 5\cdot 2^{3}:
5\cdot 2^{3} = 5\cdot 8 = 40.
Portanto a expressão à esquerda simplifica-se, para qualquer n (desde que as potências estejam definidas), ao número
40.

Passo 8

Compare com a expressão à direita:
\frac{16-7\cdot 2^{n-1}}{5}.
Essa expressão depende de n (porque aparece 2^{n-1}). Se as duas fossem iguais para todo n, a direita teria de ser igual a 40 para todo n. Verificamos rapidamente por contraprova com um valor concreto, por exemplo n=1:
\text{direita em } n=1:\quad \frac{16-7\cdot 2^{0}}{5}=\frac{16-7}{5}=\frac{9}{5}=1{,}8,
o que é diferente de 40. Também algebricamente, se fosse igual para todo n teríamos
\frac{16-7\cdot 2^{n-1}}{5}=40\quad\Rightarrow\quad 16-7\cdot 2^{n-1}=200,
o que leva a
-7\cdot 2^{n-1}=184\quad\Rightarrow\quad 2^{n-1}=-\frac{184}{7},
impossível porque 2^{n-1}>0. Assim há contradição.

Passo 9

Conclusão: a expressão da esquerda simplifica para \;40\; e a da direita não é igual a 40 para todo n. Logo a afirmativa de que as duas expressões são equivalentes é falsa.

Resposta

Falsa

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