- Análise de Algoritmos: Em análise de algoritmos, often aparece a série harmônica
. Mostre que esta série diverge usando o Teste da Integral.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
é divergente usando o Teste da Integral. O conteúdo principal é o Teste da Integral, que compara a soma de uma série a uma integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.
Passo 2
Defina a função
para
. Observe que
é contínua, positiva e estritamente decrescente em
. Esses são exatamente os requisitos para aplicar o Teste da Integral à série
.
Passo 3
Calcule a integral imprópria correspondente:
Como
, temos
Passo 4
Faça
. Então
ou seja, a integral diverge.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, se
e
satisfaz as condições (contínua, positiva, decrescente), então a série
também diverge. Aplicando isso a
, concluímos que a série harmônica diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Integral.