1. Análise de Algoritmos: Em análise de algoritmos, often aparece a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}. Mostre que esta série diverge usando o Teste da Integral.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente usando o Teste da Integral. O conteúdo principal é o Teste da Integral, que compara a soma de uma série a uma integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Defina a função
f(x) = \frac{1}{x},
para x\ge1. Observe que f é contínua, positiva e estritamente decrescente em [1,\infty). Esses são exatamente os requisitos para aplicar o Teste da Integral à série \sum_{n=1}^{\infty}f(n).

Passo 3

Calcule a integral imprópria correspondente:
\int_{1}^{N} \frac{1}{x}\,dx.
Como \int \frac{1}{x}\,dx = \ln(x), temos
\int_{1}^{N} \frac{1}{x}\,dx = \ln(N) - \ln(1) = \ln(N).

Passo 4

Faça N \to \infty. Então
\lim_{N\to\infty} \ln(N) = +\infty,
ou seja, a integral diverge.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, se
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \infty
e f satisfaz as condições (contínua, positiva, decrescente), então a série
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)
também diverge. Aplicando isso a f(x)=1/x, concluímos que a série harmônica diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge pelo Teste da Integral.

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