Use o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}+n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}+n}
usando o Teste de Comparação. Vamos comparar com uma série conhecida, a série harmônica (ou seu “deslocamento”), para concluir sobre divergência ou convergência.

Passo 2

Defina
a_{n} = \frac{n+1}{n^{2}+n}.
Para todo n\ge1, temos
n^{2}+n = n(n+1)>0,
logo
a_{n} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}.
Portanto, cada termo da série original é exatamente o termo da série harmônica.

Passo 3

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é divergente. Como
\frac{n+1}{n^{2}+n} = \frac{1}{n},
a série dada coincide termo a termo com a série harmônica. Logo, pelo próprio reconhecimento da série, conclui-se que ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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