Use o Teste da Raiz:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2}.
O Teste da Raiz diz que, para a_n sendo o n-ésimo termo da série, definimos
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}.
Se L<1 então a série converge absolutamente; se L>1 ela diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui temos
a_n = \frac{2^n}{n^2},
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\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} = \sqrt[n]{\frac{2^n}{n^2}} = \frac{\sqrt[n]{2^n}}{\sqrt[n]{n^2}} = \frac{2}{\bigl(n^2\bigr)^{1/n}}.

Passo 3

Observamos que
\bigl(n^2\bigr)^{1/n} = \exp\!\Bigl(\tfrac{1}{n}\ln(n^2)\Bigr) = \exp\!\Bigl(\tfrac{2\ln n}{n}\Bigr) \longrightarrow \exp(0)=1 \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n^2)^{1/n}} = \frac{2}{1} = 2.

Passo 4

Como L=2>1, o Teste da Raiz garante que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2}
diverge.

Resposta

A série diverge (não converge).

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