Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti, ou Clairaut.
y d x=e^{x} d y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,dx = e^{x}\,dy
e pede apenas classificá-la, sem resolver, entre: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Riccati ou Clairaut.

Passo 2

Para ver separabilidade, escrevemos a equação em forma dy/dx:
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{e^{x}} = y\,e^{-x}.
Como o membro direito é produto de uma função de x e^{-x} por uma função de y y, a equação é separável.

Passo 3

Para ver linearidade, colocamos em forma padrão
\frac{dy}{dx} - e^{-x}\,y = 0,
que é da forma \,dy/dx + P(x)\,y = Q(x). Aqui P(x)=-e^{-x} e Q(x)=0, logo é uma equação linear de primeira ordem.

Passo 4

Verificação de outros tipos:
  • Exata: em M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 temos M=y, N=-e^{x}, e \partial M/\partial y=1\neq -e^{x}=\partial N/\partial x, não exata.
  • Homogênea: f(x,y)=y\,e^{-x} não satisfaz f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{0}f(x,y), não é homogênea.
  • Bernoulli: seria dy/dx + P(x)y = Q(x)\,y^{n} com n\neq0,1; aqui o termo em y^{n} é trivial, não entra na classe não-trivial.
  • Riccati: requer termo em y^{2}, ausente.
  • Clairaut: tem formato y = x\,(dy/dx)+f(dy/dx), não cair no caso.

Resposta

A equação é separável e linear.

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