(1.) Verify that
and
are solutions of the reduced equation
, and write down the general solution.
(b) Determine the value of
for which
is a particular solution of the complete equation
. Use this solution and the result of part (a) to write down the general solution of this equation. (Compare with Example 1 in Section 11.)
(c) Can you discover
, and
by inspection?
(b) Determine the value of
(c) Can you discover
Passo 1
O enunciado trata de resolver duas equações diferenciais de segunda ordem em
: primeiro a reduzida
e depois a completa
Em (a) vamos verificar que as funções
e
satisfazem a equação homogênea e, a partir delas, escrever a solução geral. Em (b) vamos ajustar um coeficiente
para que
seja solução particular da completa e usar a solução homogênea de (a) para obter a solução geral. Em (c) comentamos como “adivinhar” essas soluções por inspeção.
Passo 2
Verificação de
e
e solução geral da homogênea.
Para temos
Para
logo
Para
temos
logo
Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Particular da equação completa e solução geral.
Suponha . Então
Suponha
e
Queremos
, daí
. Logo
A solução geral da completa fica
Passo 4
Descobrindo por inspeção.
Como a homogênea é do tipo “equação de Euler” , basta tentar
, o que leva ao polinômio em
dado por
Como a homogênea é do tipo “equação de Euler”
isto é,
e
. Para a particular, o termo forçante é
, sugere um monoômio de grau
,
, e basta ajustar
.
Resposta
(a) A solução geral da reduzida é
(b) O coeficiente é
, e a solução geral da completa é
(c) Sim. Pela forma de Euler da homogênea testa-se
e para o termo
na não homogênea testa-se um monoômio
.