(1.) Verify that y_{1}=1 and y_{2}=x^{2} are solutions of the reduced equation x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0, and write down the general solution.
(b) Determine the value of a for which y_{p}=a x^{3} is a particular solution of the complete equation x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=3 x^{2}. Use this solution and the result of part (a) to write down the general solution of this equation. (Compare with Example 1 in Section 11.)
(c) Can you discover y_{1}, y_{2}, and y_{p} by inspection?

Passo 1

O enunciado trata de resolver duas equações diferenciais de segunda ordem em x: primeiro a reduzida
x\,y''-y'=0
e depois a completa
x\,y''-y'=3x^2.
Em (a) vamos verificar que as funções y_1=1 e y_2=x^2 satisfazem a equação homogênea e, a partir delas, escrever a solução geral. Em (b) vamos ajustar um coeficiente a para que y_p=a\,x^3 seja solução particular da completa e usar a solução homogênea de (a) para obter a solução geral. Em (c) comentamos como “adivinhar” essas soluções por inspeção.

Passo 2

Verificação de y_1 e y_2 e solução geral da homogênea.
Para y_1=1 temos
y_1'=0,\qquad y_1''=0
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x\,y_1''-y_1'=x\cdot0-0=0.
Para y_2=x^2 temos
y_2'=2x,\qquad y_2''=2
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x\,y_2''-y_2'=x\cdot2-2x=2x-2x=0.
Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral da homogênea é
y_h=C_1\cdot1 + C_2\,x^2.

Passo 3

Particular da equação completa e solução geral.
Suponha y_p=a\,x^3. Então
y_p'=3a\,x^2,\qquad y_p''=6a\,x
e
x\,y_p''-y_p'=x\cdot(6a\,x)-3a\,x^2=6a\,x^2-3a\,x^2=3a\,x^2.
Queremos 3a\,x^2=3x^2, daí a=1. Logo
y_p=x^3.
A solução geral da completa fica
y=y_h+y_p = C_1 + C_2\,x^2 + x^3.

Passo 4

Descobrindo por inspeção.
Como a homogênea é do tipo “equação de Euler” x\,y''-y'=0, basta tentar y=x^m, o que leva ao polinômio em m dado por
m(m-1)-m=m(m-2)=0\;\Rightarrow\;m=0,2,
isto é, y_1=x^0=1 e y_2=x^2. Para a particular, o termo forçante é 3x^2, sugere um monoômio de grau 3, y_p=a\,x^3, e basta ajustar a.

Resposta

(a) A solução geral da reduzida é
y=C_1 + C_2\,x^2.
(b) O coeficiente é a=1, e a solução geral da completa é
y=C_1 + C_2\,x^2 + x^3.
(c) Sim. Pela forma de Euler da homogênea testa-se y=x^m e para o termo 3x^2 na não homogênea testa-se um monoômio a\,x^3.

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