A análise de uma amostra aleatória que consiste em n_{1}=20 espécimes de aço tratado a frio para determinar a resistência resultou em uma resistência média amostral de \overline{x_{1}}=29,8 \mathrm{ksi}. Uma segunda amostra aleatória de n_{2}=25 espécimes de aço galvanizado de dois lados forneceu uma resistência média amostral de \overline{x_{2}}=34,7 \mathrm{ksi}. Assumindo que as duas distribuições de resistência de rendimento sejam normais com \sigma_{1}=4,0 e \sigma_{2}=5,0, verifique se os dados indicam que as resistências de rendimento médias reais correspondentes \mu_{1} e \mu_{2} são diferentes? Use \alpha=0,01.
Passo 1
O enunciado apresenta duas amostras independentes de tamanhos n_{1}=20 e n_{2}=25 retiradas de populações normais com desvios-padrão conhecidos \sigma_{1}=4,0 e \sigma_{2}=5,0. As médias amostrais são \overline{x}_{1}=29,8 e \overline{x}_{2}=34,7. Queremos testar se as médias populacionais \mu_{1} e \mu_{2} são diferentes, ao nível de significância \alpha=0,01. Vamos usar o teste-z para duas médias com variâncias conhecidas.
Passo 2
Formulamos as hipóteses e identificamos o teste de duas caudas:
H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2}
H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}
Como é teste de duas caudas, o ponto crítico é dado por z_{1-\alpha/2}. Para \alpha=0,01, temos
z_{1-\alpha/2} = z_{0,995} \approx 2,5758.
Passo 3
Calculamos a estatística de teste
z \;=\;\frac{\overline{x}_{1} - \overline{x}_{2} - 0}{\sqrt{\displaystyle \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}