Um fabricante afirma que a média de resistência à tensão da corda A excede a média de resistência à tensão da corda B por, pelo menos, 12 kg . Para testar sua afirmação, 50 pedaços de cada corda são testados sob condições similares. A corda tipo A teve uma resistência de 86,7 \mathrm{~kg}, com desvio padrão amostral de 6,28 \mathrm{~kg}, enquanto a do tipo B teve uma resistência de 77,8 \mathrm{~kg}, com desvio padrão amostral de 5,61 \mathrm{~kg}. Teste a afirmação do fabricante usando um nível de significância de 0,05 .

Passo 1

O enunciado trata de comparar a média de resistência à tensão de duas cordas A e B usando duas amostras independentes de tamanho n_A=n_B=50. Queremos verificar a alegação de que \mu_A-\mu_B\ge12
Como as amostras são grandes n>30 e as variâncias são desconhecidas, usamos um teste z para a diferença de médias.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste unilateral à esquerda (pois queremos checar se a diferença é menor que 12):
H_0:\mu_A-\mu_B=12
H_1:\mu_A-\mu_B<12

Passo 3

Calculamos o valor observado do estatístico:
z=\frac{\bar x_A-\bar x_B-12}{\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A}+\frac{s_B^2}{n_B}}}
Substituindo \bar x_A=86,7, \bar x_B=77,8, s_A=6,28, s_B=5,61 e n_A=n_B=50:
\sqrt{\frac{6,28^2}{50}+\frac{5,61^2}{50}} =\sqrt{\frac{39,4384+31,4721}{50}} =\sqrt{1,41821}\approx1,1918
z=\frac{86,7-77,8-12}{1,1918} =\frac{-3,1}{1,1918}\approx-2,60

Passo 4

Para \alpha=0,05 no teste à esquerda, o valor crítico é
z_{0,05}=-1,645.
Rejeitamos H_0 se z<z_{0,05}. Como -2,60< -1,645, estamos na região de rejeição.

Passo 5

Rejeitamos H_0 ao nível de significância de 5\%. Concluímos que não há evidência de que a diferença de médias seja pelo menos 12 kg, ou seja, a alegação do fabricante não se sustenta.

Resposta

Rejeita-se H_0; não há evidência suficiente para apoiar que \mu_A-\mu_B\ge12.

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