Ao selecionar um concreto de enxofre para a construção de estradas em regiões que sofrem fortes congelamentos, é importante que o concreto escolhido tenha baixo valor de condutividade térmica para minimizar os danos subsequentes devido às variações de temperatura. Suponha que dois tipos de concreto, um agregado de boa qualidade e um agregado de baixa qualidade, sejam considerados para uma determinada estrada. Os dados de um experimento realizado para comparar os dois tipos de concreto, ambos com amostras de tamanho 42, resultaram em: para o agregado de boa qualidade, a condutividade média foi de 0,486 com desvio padrão amostral de 0,187 , enquanto que para o agregado de baixa qualidade a condutividade média foi de 0,359 , com desvio padrão amostral de 0,158 . Essas informações sugerem que a condutividade média real do concreto de boa qualidade excede a do concreto de baixa qualidade? Use \alpha=0,01.

Passo 1

O problema envolve comparar a condutividade térmica média de dois concretos independentes: um com agregado de boa qualidade e outro com agregado de baixa qualidade. Cada amostra tem tamanho n_1=n_2=42. As médias amostrais e desvios-padrão são \bar x_1=0,486, s_1=0,187 (boa qualidade) \bar x_2=0,359, s_2=0,158 (baixa qualidade)
Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,01, se a média real do concreto de boa qualidade excede a do concreto de baixa qualidade. Para isso usamos o teste de duas amostras independentes, aproximando a estatística pela distribuição normal (CLT, n_i>30).

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\\ \mu_1\le\mu_2 \qquad H_1:\\ \mu_1>\mu_2
onde \mu_1 é a condutividade média do concreto com agregado de boa qualidade e \mu_2 a do concreto de baixa qualidade.

Passo 3

A estatística de teste é
z = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\displaystyle\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
onde o erro-padrão da diferença de médias é
SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}.

Passo 4

Calculamos numericamente:
SE = \sqrt{\frac{0,187^2}{42} + \frac{0,158^2}{42}} = \sqrt{0,000833 + 0,000594} = 0,0378
z = \frac{0,486 - 0,359}{0,0378} = \frac{0,127}{0,0378} \approx 3,36.

Passo 5

O valor crítico para \alpha=0,01 num teste unilateral à direita é
z_{0,99} = 2,33.
Como z=3,36 > 2,33, rejeitamos H_0.

Resposta

Sim. Ao nível de significância \alpha=0,01, há evidência estatística de que a condutividade média real do concreto de boa qualidade excede a do concreto de baixa qualidade.

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