Analise cada afirmação abaixo e diga se é verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se B=v1, v2, v3 é uma base do R^3 então S=T1(v1), T1(v2), T1(v3) é LD;

Passo 1

O enunciado afirma que, dado B=v1,v2,v3 base de R^3, o conjunto
S=T1(v1),,T1(v2),,T1(v3)
seria sempre linearmente dependente (LD). O conteúdo aqui é propriedades de transformações lineares e independência linear.

Passo 2

Lembramos que um conjunto de vetores w1,w2,w3 é linearmente independente (LI) se a única combinação
a1w1 + a2w2 + a3w3 = 0
que dá o vetor zero é a1=a2=a3=0. Caso contrário, o conjunto é LD.

Passo 3

Para uma transformação linear T1:R^3to V, vale o teorema:
T1 envia uma base de R^3 em um conjunto LI se e somente se T1 é injetora.”
Ou seja, as imagens de uma base podem ser LI (se T1 for injetora) ou LD (se T1 não for injetora).

Passo 4

No enunciado não há hipótese de que T1 seja não injetora; portanto não podemos garantir que as imagens de v1,v2,v3 sejam sempre LD. Dependendo de T1, S pode ser LI ou LD.

Passo 5

Contraexemplo simples: tome T1 sendo a transformação identidade em R^3, isto é,
T1(x)=xforall xinR^3
Então S=v1,v2,v3, que é LI pois é exatamente a base B. Logo S não é LD nesta situação.

Resposta

A afirmação é Falsa.

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