Analise cada afirmação abaixo e diga se é verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se
é uma base do
então
é LD;
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dado
base de
, o conjunto
seria sempre linearmente dependente (LD). O conteúdo aqui é propriedades de transformações lineares e independência linear.
Passo 2
Lembramos que um conjunto de vetores
é linearmente independente (LI) se a única combinação
que dá o vetor zero é
. Caso contrário, o conjunto é LD.
Passo 3
Para uma transformação linear
, vale o teorema:
“ envia uma base de
em um conjunto LI se e somente se
é injetora.”
Ou seja, as imagens de uma base podem ser LI (se for injetora) ou LD (se
não for injetora).
“
Ou seja, as imagens de uma base podem ser LI (se
Passo 4
No enunciado não há hipótese de que
seja não injetora; portanto não podemos garantir que as imagens de
sejam sempre LD. Dependendo de
,
pode ser LI ou LD.
Passo 5
Contraexemplo simples: tome
sendo a transformação identidade em
, isto é,
Então
, que é LI pois é exatamente a base
. Logo
não é LD nesta situação.
Resposta
A afirmação é Falsa.