Seja T: M2(R) R^2 uma transformação linear e beta=A, B, C, D um conjunto do M2(R) sendo
A=(ll 2 & 0 0 & 0 ), B=(ll 0 & 3 0 & 0 ), C=(ll 0 & 0 1 & 0 ), D=(ll 0 & 0 1 & 1 )
Determinar T(ll4 & 6 3 & 2), sabendo que T(A)=(-1,-2), T(B)=(0,1), T(C)=(0,2) e T(D)=(8,2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
T: M2(R)toR^2\n
e informa os valores de
T(A)=(-1,-2),
T(B)=(0,1),
T(C)=(0,2) e
T(D)=(8,2),
onde
A=2&00&0,; B=0&30&0,; C=0&01&0,; D=0&01&1
Queremos calcular
X=4&63&2
sob T. Para isso, vamos expressar X como combinação linear de A,B,C,D e usar a linearidade de T.

Passo 2

Suponha
X = alpha A + beta B + gamma C + de<a D
Como
A=2&00&0,; B=0&30&0,; C=0&01&0,; D=0&01&1,
a combinação dá
alpha2&00&0 +beta0&30&0 +gamma0&01&0 +de<a0&01&1 = 4&63&2

Passo 3

Igualando entradas, obtemos o sistema
2alpha = 4, 3beta = 6, gamma+de<a = 3, de<a = 2
Logo
alpha=2,
beta=2,
de<a=2 e
gamma=3-2=1.

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(X) = alpha,T(A) + beta,T(B) + gamma,T(C) + de<a,T(D)
Substituindo os valores:
T(X) =2(-1,-2) + 2(0,1) + 1(0,2) + 2(8,2)
Calculando cada soma vetorial:
2(-1,-2)=(-2,-4), 2(0,1)=(0,2), (0,2)=(0,2), 2(8,2)=(16,4),
e
(-2,-4)+(0,2)+(0,2)+(16,4) = (14,4)

Resposta

(14,4)

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