Seja
a transformação linear definida por
com o produto interno usual.
Determine uma base para
e sua dimensão.
Determine uma base para
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede a imagem de
(ou seja,
) e sua dimensão.
Para isso vamos usar o fato de que a imagem de é o espaço gerado pelos vetores
e
, onde
e
.
Para isso vamos usar o fato de que a imagem de
Passo 2
Calculemos as imagens da base canônica:
Logo
Passo 3
Verificamos se esses dois vetores são independentes. Note que
Isso mostra que
e
são linearmente dependentes e geram a mesma reta em
.
Passo 4
Como toda imagem de vetor em
é múltiplo de
, podemos escolher
como base de
.
Resposta
Uma base para
é
e sua dimensão é
.