Seja T: R^2 R^2 a transformação linear definida por T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y), R^2 com o produto interno usual.
Determine uma base para Im(T) e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (3x - y,,-3x + y),
e pede a imagem de T (ou seja, Im(T)) e sua dimensão.
Para isso vamos usar o fato de que a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores T(e1) e T(e2), onde e1=(1,0) e e2=(0,1).

Passo 2

Calculemos as imagens da base canônica:
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Passo 3

Verificamos se esses dois vetores são independentes. Note que
(3,-3) = -3,(-1,1)
Isso mostra que (3,-3) e (-1,1) são linearmente dependentes e geram a mesma reta em R^2.

Passo 4

Como toda imagem de vetor em Im(T) é múltiplo de (-1,1), podemos escolher
(-1,1)
como base de Im(T).

Resposta

Uma base para Im(T) é (-1,1) e sua dimensão é 1.

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