Analise se cada uma das funções abaixo é contínua para todos os pontos de seu domínio. Caso não seja, determine os pontos em que f é descontínua.
x sin 1x & se x neq 0 0 & se x=0

Passo 1

Temos a função definida por partes
f(x)=xsin1x,&xneq00,&x=0
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes e vamos precisar da definição de continuidade em um ponto e do teorema do confronto (squeeze).

Passo 2

Para todo ponto xneq0 a função xmapsto xsin1x é produto e composição de funções contínuas (a função identidade, xmapsto1/x em xneq0 e sin). Logo, para cada xneq0, f é contínua.

Passo 3

Agora vamos verificar a continuidade em x=0. Precisamos calcular
limxto0f(x)=limxto0xsin1x
Como para todo xneq0 vale
-1<=sin1x<=1,
segue
-|x|<= xsin1x<=|x|
Pelo teorema do confronto, esse limite é 0. Como f(0)=0, temos
limxto0f(x)=f(0),
o que prova a continuidade em 0.

Passo 4

Concluímos que f é contínua em todo ponto de seu domínio (isto é, em R). Não há pontos de descontinuidade.

Resposta

A função é contínua para todos os pontos de seu domínio; não existem descontinuidades.

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