Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
e, se possível, calcular sua soma. Vamos usar conhecimentos sobre séries harmônicas e o teste de Dirichlet para séries com termos oscilantes.
Passo 2
Separei a série em duas partes, escrevendo
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos n}{n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ;+
;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n}.$$
Passo 3
Analisando a primeira parte,
é o dobro da série harmônica, que diverge (p-série com
). A segunda parte,
, converge condicionalmente pelo critério de Dirichlet para séries com termos oscilantes.
Passo 4
Como a soma de uma série divergente com outra convergente é divergente, concluímos que a série original não converge.
Resposta
A série diverge.