Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:
sumn=1^infty 2+cos nn

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série sumn=1^infty 2+cos nn e, se possível, calcular sua soma. Vamos usar conhecimentos sobre séries harmônicas e o teste de Dirichlet para séries com termos oscilantes.

Passo 2

Separei a série em duas partes, escrevendo
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos n}{n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ;+
;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n}.$$

Passo 3

Analisando a primeira parte, 2sumn=1^infty tfrac1n é o dobro da série harmônica, que diverge (p-série com p=1). A segunda parte, sumn=1^infty tfraccos nn, converge condicionalmente pelo critério de Dirichlet para séries com termos oscilantes.

Passo 4

Como a soma de uma série divergente com outra convergente é divergente, concluímos que a série original não converge.

Resposta

A série diverge.

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