Analise se cada uma das funções abaixo é contínua para todos os pontos de seu domínio. Caso não seja, determine os pontos em que f é descontínua.
e^1x & se x neq 0 0 & se x=0

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função por partes
f(x)= e^tfrac1x &se xneq 0, 0 &se x=0
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes. Para resolver, precisamos saber que uma função é contínua num ponto se o limite coincide com o valor da função ali, e calcular limites laterais em 0.

Passo 2

Para qualquer ponto x0neq0, a função f(x)=e^1/x é composição de funções contínuas (a exponencial e a função xmapsto1/x), portanto é contínua em todo x0neq0.

Passo 3

Agora, no ponto x=0, verificamos as duas retas de limite:
Quando xto0^+, temos
1xto+inftyRightarrow e^tfrac1xto+infty
Quando xto0^-, temos
1xto-inftyRightarrow e^tfrac1xto0
Como os limites laterais não coincidem, o limite limxto0f(x) não existe, e não pode igualar f(0)=0. Logo, f é descontínua em x=0.

Resposta

A função é contínua para todo xneq0 e descontínua em x=0.

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