Nos Problemas 1-14, use (4) para calcular todas as raízes. Em cada caso, determine a raiz
-ésima principal. Posicione as raízes
em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as raízes cúbicas de
, determinar qual delas é a raiz 3-ésima principal e posicionar as raízes
em uma circunferência centrada na origem. Vamos usar a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre para raízes.
Passo 2
Escrevendo
em forma polar temos módulo
e argumento principal
. Logo, podemos escrever
Passo 3
Pela fórmula das raízes n-ésimas, com
e
, obtemos
Passo 4
Agora basta pegar cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
A raiz principal é aquela cujo argumento fica no intervalo
, ou seja
(argumento
). As três raízes estão igualmente espaçadas de
numa circunferência de raio 1, nos ângulos
.
Resposta
As raízes cúbicas de
são
$$w_0=\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{i}{2},\quad w_1=i,\quad w_2=-\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{i}{2}.
$$
A raiz 3-ésima principal é . Elas formam um triângulo equilátero sobre o círculo unitário, nos ângulos
.
A raiz 3-ésima principal é