Nos Problemas 1-14, use (4) para calcular todas as raízes. Em cada caso, determine a raiz n-ésima principal. Posicione as raízes w0, w1, ldots, wn-1 em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(-i)^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as raízes cúbicas de -i, determinar qual delas é a raiz 3-ésima principal e posicionar as raízes w0,w1,w2 em uma circunferência centrada na origem. Vamos usar a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre para raízes.

Passo 2

Escrevendo z=-i em forma polar temos módulo rho=1 e argumento principal theta=-pi/2. Logo, podemos escrever
-i = e^il(-tfracpi2+2pi mr) para inteiro m

Passo 3

Pela fórmula das raízes n-ésimas, com n=3 e rho=1, obtemos
wk = rho^1/3e^i(theta+2pi k)/3 = e^i(-pi/2+2pi k)/3, k=0,1,2

Passo 4

Agora basta pegar cada k:
  • Para k=0:
    w0=e^i(-pi/6)=cos(-pi/6)+isin(-pi/6)=tfracraiz32-tfraci2
  • Para k=1:
    w1=e^i(-pi/2+2pi)/3=e^ipi/2=i
  • Para k=2:
    w2=e^i(-pi/2+4pi)/3=e^i7pi/6= -tfracraiz32-tfraci2

Passo 5

A raiz principal é aquela cujo argumento fica no intervalo (-pi,pi], ou seja w0=tfracraiz32-tfraci2 (argumento -pi/6). As três raízes estão igualmente espaçadas de 2pi/3 numa circunferência de raio 1, nos ângulos -pi/6,pi/2,7pi/6.

Resposta

As raízes cúbicas de -i são
$$w_0=\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{i}{2},\quad w_1=i,\quad w_2=-\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{i}{2}.
$$
A raiz 3-ésima principal é w0=tfracraiz32-tfraci2, w1=i, w2=-tfracraiz32-tfraci2 . Elas formam um triângulo equilátero sobre o círculo unitário, nos ângulos w0=tfracraiz32-tfraci2.

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