Calcule os limites:
lim t 0^+(cos (t) i+sen(t) j+t ln (t) k)

Passo 1

Na primeira etapa a gente resume o enunciado: precisamos calcular o limite quando t to 0^+ do vetor cos(t)vec i + sin(t)vec j + tln(t)vec k. O conteúdo aqui é limite de funções vetoriais e, pela definição, basta calcular o limite de cada componente escalar separadamente.

Passo 2

Em seguida, avaliamos as duas primeiras componentes usando a continuidade das funções trigonométricas. Como cos(t) e sin(t) são contínuas em t=0, temos
limtto0^+cos(t)=cos(0)=1,
limtto0^+sin(t)=sin(0)=0

Passo 3

Depois, focamos no termo tln(t). Ele gera uma indeterminação do tipo 0cdot(-infty), então reescrevemos como quociente e aplicamos a regra de L’Hôpital:
limtto0^+tln(t)=limtto0^+ln(t)1/t
Derivando numerador e denominador:
limtto0^+(1/t)-1/t^2=limtto0^+(-t)=0

Passo 4

Por fim, juntamos os resultados de cada componente e obtemos
limtto0^+(cos(t)vec i+sin(t)vec j+tln(t)vec k)=1vec i+0vec j+0vec k=vec i

Resposta

vec i

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