Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=1^infty tanl(1/nr) converge e, se possível, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries numéricas e, em particular, uso de comparação assintótica de funções próximas de zero.

Passo 2

Para n muito grande temos 1/n pequeno e podemos usar a expansão de Taylor de tan(x) em torno de x=0:
tan(x)=x+x^33+O(x^5).
Aplicando com x=1/n obtém-se
tan(1/n)=1n+Ol(1/n^3r).
Isso mostra que os termos gerais se comportam como 1/n quando ntoinfty.

Passo 3

Como os termos an=tan(1/n) satisfazem ansim1/n e a série harmônica sum1/n diverge, pela comparação assintótica (ou teste de comparação limite) concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge, logo não possui soma finita.

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