Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge e, se possível, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries numéricas e, em particular, uso de comparação assintótica de funções próximas de zero.
Passo 2
Para
muito grande temos
pequeno e podemos usar a expansão de Taylor de
em torno de
:
.
Aplicando com obtém-se
.
Isso mostra que os termos gerais se comportam como quando
.
Aplicando com
Isso mostra que os termos gerais se comportam como
Passo 3
Como os termos
satisfazem
e a série harmônica
diverge, pela comparação assintótica (ou teste de comparação limite) concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
A série diverge, logo não possui soma finita.