Análise da concavidade da função e ponto de inflexão:
f(x, y)=3 x^{4}+8 x^{3}-18 x^{2}+6 y^{2}+12 y-4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a concavidade da função de duas variáveis
f(x,y)=3x^{4}+8x^{3}-18x^{2}+6y^{2}+12y-4
e identificar os pontos (ou o conjunto de pontos) de inflexão. O método geral é calcular a matriz Hessiana H, estudar sua definitude para determinar regiões convexas ou côncavas e localizar onde ela se torna degenerada (determinante zero), que indicam inflexões.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro a derivada de f em relação a x:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} =12x^{3}+24x^{2}-36x,
de onde
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =36x^{2}+48x-36.
Em relação a y:
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} =12y+12,
logo
f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =12.
E a derivada mista é
f_{xy}=f_{yx}=0.

Passo 3

A matriz Hessiana é diagonal:
H(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & 0\\\\ 0 & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36x^{2}+48x-36 & 0\\\\ 0 & 12 \end{pmatrix}.
Para ser positiva definida (região estritamente convexa) precisamos de
f_{xx}>0 \quad\text{e}\quad f_{yy}>0.
Como f_{yy}=12>0 sempre, basta achar onde 36x^{2}+48x-36>0.

Passo 4

Resolvemos a equação
36x^{2}+48x-36=0 \;\Longleftrightarrow\; 3x^{2}+4x-3=0 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{-2\pm\sqrt{13}}{3}.
Por ser uma parábola voltada para cima, 36x^{2}+48x-36>0 ocorre para
x<\frac{-2-\sqrt{13}}{3} \quad\text{ou}\quad x>\frac{-2+\sqrt{13}}{3}.
Nessas faixas em x, o Hessiano é positivo definido, então f é estritamente convexa.

Passo 5

Para ser negativa definida (região estritamente côncava) precisaríamos de f_{yy}<0, mas f_{yy}=12>0 em toda parte. Portanto não existe região em que f seja estritamente côncava.

Passo 6

Os pontos de inflexão (em sentido de mudança de tipo de curvatura) ocorrem onde o Hessiano fica degenerado, ou seja, onde \det H=0. Como
\det H = f_{xx}\,f_{yy} =12\bigl(36x^{2}+48x-36\bigr),
temos \det H=0 exatamente quando
36x^{2}+48x-36=0 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{-2\pm\sqrt{13}}{3}.
Qualquer ponto \bigl(x,y\bigr) com x=( -2\pm\sqrt{13})/3 e y\in\mathbb R é, portanto, ponto de inflexão.

Resposta

A matriz Hessiana é positiva definida se, e somente se,
x<\frac{-2-\sqrt{13}}{3} \quad\text{ou}\quad x>\frac{-2+\sqrt{13}}{3},
logo f é estritamente convexa nessas faixas de x. Não há região estritamente côncava.
O conjunto de pontos de inflexão é dado por
x=\frac{-2\pm\sqrt{13}}{3},\quad y\in\mathbb R.

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