Análise da concavidade da função e ponto de inflexão: f(x, y)=3 x^{4}+8 x^{3}-18 x^{2}+6 y^{2}+12 y-4
Passo 1
O enunciado pede para analisar a concavidade da função de duas variáveis
f(x,y)=3x^{4}+8x^{3}-18x^{2}+6y^{2}+12y-4
e identificar os pontos (ou o conjunto de pontos) de inflexão. O método geral é calcular a matriz Hessiana H, estudar sua definitude para determinar regiões convexas ou côncavas e localizar onde ela se torna degenerada (determinante zero), que indicam inflexões.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro a derivada de f em relação a x:
Nessas faixas em x, o Hessiano é positivo definido, então f é estritamente convexa.
Passo 5
Para ser negativa definida (região estritamente côncava) precisaríamos de f_{yy}<0, mas f_{yy}=12>0 em toda parte. Portanto não existe região em que f seja estritamente côncava.
Passo 6
Os pontos de inflexão (em sentido de mudança de tipo de curvatura) ocorrem onde o Hessiano fica degenerado, ou seja, onde \det H=0. Como
\det H = f_{xx}\,f_{yy} =12\bigl(36x^{2}+48x-36\bigr),