Apresente os números complexos nas formas cartesianas, exponencial, polar e trigonométrica.
z_{3}=2-8 j

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z_{3}=2-8j e pede as representações nas formas cartesiana, trigonométrica, exponencial e polar. Para isso, vamos precisar do módulo \lvert z_{3}\rvert e do argumento \theta=\arg(z_{3}).

Passo 2

Calculamos o módulo por
\lvert z_{3}\rvert = \sqrt{(\Re z_{3})^{2}+(\Im z_{3})^{2}} = \sqrt{2^{2}+(-8)^{2}} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} =2\sqrt{17}.

Passo 3

O argumento vem de
\theta = \atan2(\Im z_{3},\Re z_{3}) = \atan2(-8,2) = \arctan\bigl(-4\bigr).
Como \Re z_{3}>0 e \Im z_{3}<0, temos \theta=-\arctan(4) (aproximadamente -1,3258 rad ou -75,96^\circ).

Passo 4

A forma trigonométrica é
z_{3} = \lvert z_{3}\rvert\bigl[\cos\theta + j\,\sin\theta\bigr] = 2\sqrt{17}\bigl[\cos\bigl(-\arctan(4)\bigr) + j\,\sin\bigl(-\arctan(4)\bigr)\bigr].

Passo 5

A forma exponencial usa a fórmula de Euler:
z_{3} = \lvert z_{3}\rvert\,e^{j\theta} = 2\sqrt{17}\,e^{-j\arctan(4)}.

Passo 6

A forma polar (ângular) é simplesmente o par módulo–ângulo:
z_{3} = 2\sqrt{17}\;\angle\;-\,\arctan(4).

Resposta

Forma cartesiana: z_{3}=2-8j
Forma trigonométrica: z_{3}=2\sqrt{17}\bigl[\cos(-\arctan(4))+j\sin(-\arctan(4))\bigr]
Forma exponencial: z_{3}=2\sqrt{17}\,e^{-j\arctan(4)}
Forma polar: z_{3}=2\sqrt{17}\;\angle\;-\,\arctan(4)

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