Analise a concavidade do gráfico das funções abaixo. Identifique os pontos de inflexão.
f(x)=x^4+4 x^2-16

Passo 1

O enunciado pede para analisar a concavidade do gráfico de f(x)=x^4+4x^2-16 e identificar seus pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o fato de que a concavidade é dada pelo sinal da segunda derivada f''(x) e que pontos de inflexão são pontos onde f''(x)=0 e troca de sinal.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de f:
f'(x)=ddxl(x^4+4x^2-16r)=4x^3+8x
Derivando novamente, obtemos
f''(x)=ddxl(4x^3+8xr)=12x^2+8

Passo 3

Para encontrar potenciais pontos de inflexão, resolvemos
f''(x)=0
ou seja
12x^2+8=0 Longrightarrow x^2=-tfrac812=-tfrac23
Como não há soluções reais, f''(x) nunca zera. Além disso, para todo xinR,
12x^2+8>0,
logo a função é côncava para cima em toda a reta real e não há troca de sinal em f''.

Resposta

A função é côncava para cima em todo R e não possui pontos de inflexão.

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