Calcule lim x +infty f(x), supondo que a função f:[5,+infty[ R satisfaça a seguinte propriedade: 4 x-1x <= f(x) <= 4 x^2+raizxx^2 ; forall x>5

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyf(x),
sabendo que para todo x>5 vale
4x-1x<= f(x)<= 4x^2+raizxx^2.
O conteúdo aqui é cálculo de limite no infinito e vamos usar o Teorema do Confronto (também chamado teorema do sanduíche).

Passo 2

Analisamos o limite do menor dos três termos, que é
4x-1x ;=;4 - 1x
Como limxto+infty1x=0, temos
limxto+infty4x-1x=4-0=4

Passo 3

Analisamos o limite do maior dos três termos, que é
4x^2+raizxx^2 ;=;4 + raizxx^2 ;=;4 + x^-tfrac32
Como limxto+inftyx^-tfrac32=0, segue
limxto+infty4x^2+raizxx^2=4+0=4

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se
limxto+infty4x-1x =limxto+infty4x^2+raizxx^2=4
e 4x-1x<= f(x)<=4x^2+raizxx^2, então
limxto+inftyf(x)=4

Resposta

4

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