O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
b. Resolva a equação diferencial.
d yd x=x^2+x y+y^2x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x^2 + x y + y^2x^2,
que é uma equação homogênea de grau zero (o numerador e o denominador têm mesmo grau em x,y). Vamos usar a substituição típica para homogêneas,
y = x,v(x),
que transforma a equação numérica numa de variáveis separáveis.

Passo 2

Com y = x v temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação original:
v + xdvdx = x^2 + x,(xv) + (xv)^2x^2 = x^2 + x^2v + x^2v^2x^2 = 1 + v + v^2
Assim, isolamos o termo com tfracdvdx:
xdvdx = 1 + v^2

Passo 3

A equação agora é separável. Escrevemos
dv1+v^2 = dxx
e integramos ambos os lados.

Passo 4

Integrais diretas:
integral dv1+v^2 = arctan(v), integral dxx = lnl|xr|
Logo,
arctan(v) = lnl|xr| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y=xv, temos
v = tanl(lnlvert xrvert + Cr),
então a solução geral é
y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)

Resposta

boxedy(x) = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr),
com C constante de integração.

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