Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada por y=x+x^2, y=x^2-1 e x=0, em torno do eixo y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada por três curvas: y = x + x^2 , y = x^2 - 1 e x = 0 em torno do eixo y = 1 . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os pontos de interseção das curvas y = x + x^2 e y = x^2 - 1 . Para isso, igualamos as duas expressões:
x + x^2 = x^2 - 1
Simplificando:
x = -1
Então, as duas curvas se cruzam quando x = -1 .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como estamos rotacionando em torno do eixo y = 1 e considerando x = 0 , precisamos saber os valores de y nas interseções e nos extremos.
Para x = -1 :
y = (-1) + (-1)^2 = -1 + 1 = 0
Para x = 0 :
y = 0 + 0^2 = 0
Então, a região que vamos rotacionar está entre y = 0 e y = 1 .

Passo 4

Vamos usar o método dos anéis (ou método do disco com espaço vazio no meio). A fórmula geral para o volume é:
V = pi integrala^b [ R(y)^2 - r(y)^2 ] dy
Onde:
  • R(y) é o raio externo.
  • r(y) é o raio interno.
  • a e b são os limites de integração em y .

Passo 5

Precisamos expressar x em função de y para as curvas dadas.
Para y = x + x^2 :
x^2 + x - y = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz1 + 4y 2
Como estamos considerando x >= 0 , escolhemos a solução positiva:
x = -1 + raiz1 + 4y 2
Para y = x^2 - 1 :
x^2 = y + 1
x = raizy + 1

Passo 6

Agora, determinamos quais funções representam o raio externo R(y) e o raio interno r(y) .
Observando as curvas:
  • x = raizy + 1 está mais à direita, então será o raio externo R(y) .
  • x = -1 + raiz1 + 4y 2 está mais à esquerda, então será o raio interno r(y) .

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral0^1 [ ( raizy + 1 )^2 - ( -1 + raiz1 + 4y 2 )^2 ] dy
Simplificando as expressões ao quadrado:
V = pi integral0^1 [ y + 1 - ( 1 - 2raiz1 + 4y + (1 + 4y)4 ) ] dy

Passo 8

Simplificando mais a expressão dentro da integral:
V = pi integral0^1 [ y + 1 - ( 2 + 4y - 2raiz1 + 4y4 ) ] dy
V = pi integral0^1 [ y + 1 - 2 + 4y4 + 2raiz1 + 4y4 ] dy
V = pi integral0^1 [ y + 1 - 1 + 2y2 + raiz1 + 4y2 ] dy

Passo 9

Simplificando cada termo:
y + 1 - 12 - y + raiz1 + 4y2 = 12 + raiz1 + 4y2
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 ( 12 + raiz1 + 4y2 ) dy

Passo 10

Fatorando 12 :
V = pi2 integral0^1 ( 1 + raiz1 + 4y ) dy
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 11

Integrando:
integral 1 , dy = y
integral raiz1 + 4y , dy
Fazendo uma substituição u = 1 + 4y , então du = 4 dy ou dy = du4 :
integral raizu cdot du4 = 14 cdot 23 u^3/2 = 16 u^3/2
Substituindo de volta u = 1 + 4y :
16 (1 + 4y)^3/2

Passo 12

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
V = pi2 [ y + 16 (1 + 4y)^3/2 ]0^1
Calculando em y = 1 :
1 + 16 (1 + 4 cdot 1)^3/2 = 1 + 16 (5)^3/2 = 1 + 16 cdot 5raiz5 = 1 + 5raiz56
Calculando em y = 0 :
0 + 16 (1 + 0)^3/2 = 0 + 16 cdot 1 = 16
Subtraindo:
(1 + 5raiz56) - 16 = 1 + 5raiz5 - 16 = 66 + 5raiz5 - 16 = 5raiz5 + 56

Passo 13

Portanto, o volume é:
V = pi2 cdot 5raiz5 + 56 = pi (5raiz5 + 5)12 = 5pi (raiz5 + 1)12

Resposta

O volume do sólido de revolução é 5pi (raiz5 + 1)12 .

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