Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada por
e
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada por três curvas:
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Simplificando:
Então, as duas curvas se cruzam quando
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como estamos rotacionando em torno do eixo
e considerando
, precisamos saber os valores de
nas interseções e nos extremos.
Para
:
Para
:
Então, a região que vamos rotacionar está entre
e
.
Passo 4
Vamos usar o método dos anéis (ou método do disco com espaço vazio no meio). A fórmula geral para o volume é:
Onde:
-
é o raio externo. -
é o raio interno. -
e são os limites de integração em .
Passo 5
Precisamos expressar
em função de
para as curvas dadas.
Para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos considerando
, escolhemos a solução positiva:
Para
:
Passo 6
Agora, determinamos quais funções representam o raio externo
e o raio interno
.
Observando as curvas:
-
está mais à direita, então será o raio externo . -
está mais à esquerda, então será o raio interno .
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando as expressões ao quadrado:
Passo 8
Simplificando mais a expressão dentro da integral:
Passo 9
Simplificando cada termo:
Então, a integral fica:
Passo 10
Fatorando
:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 11
Integrando:
Fazendo uma substituição
, então
ou
:
Substituindo de volta
:
Passo 12
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Passo 13
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.