O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
b. Resolva a equação diferencial.
d yd x=x^2+3 y^22 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x^2 + 3y^22xy,
que é uma equação homogênea. Vamos usar a substituição y = x,v(x) para transformá-la em uma equação separável.

Passo 2

Verificamos que o membro direito depende apenas de y/x, pois
x^2 + 3y^22xy = 1 + 3l(tfracyxr)^22,tfracyx = 1 + 3v^22v
Como y = x v, temos
dydx = v + xdvdx
Logo
v + xdvdx = 1 + 3v^22v

Passo 3

Isolando x,dv/dx,
xdvdx = 1 + 3v^22v - v = 1 + 3v^2 - 2v^22v = 1 + v^22v
Assim a equação fica
dvdx = 1 + v^22v,x

Passo 4

Separamos as variáveis:
2v1 + v^2,dv = dxx
Integrando ambos os lados, usando u = 1+v^2 e du = 2v,dv, obtemos
integral 2v1 + v^2,dv = integral dxx Longrightarrow lnl(1 + v^2r) = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Aplicando exponenciação e absorvendo o fator de sinal em C, vem
1 + v^2 = C,x
Voltando à variável original y = x v,
1 + l(tfracyxr)^2 = C,x Longrightarrow x^2 + y^2 = C,x^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x^2 + y^2 = C,x^3,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados