O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
b. Resolva a equação diferencial.
b. Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é uma equação homogênea. Vamos usar a substituição
para transformá-la em uma equação separável.
Passo 2
Verificamos que o membro direito depende apenas de
, pois
Como
, temos
Logo
Passo 3
Isolando
,
Assim a equação fica
Passo 4
Separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados, usando
e
, obtemos
Passo 5
Aplicando exponenciação e absorvendo o fator de sinal em
, vem
Voltando à variável original
,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é constante arbitrária.