Analise a concavidade do gráfico das funções abaixo. Identifique os pontos de inflexão.
f(x)=1+(x-2)^2 / 3

Passo 1

Temos a função
f(x) = 1 + (x - 2)^23
e queremos estudar sua concavidade e identificar pontos de inflexão. Para isso, vamos usar a segunda derivada f''(x): onde f''(x)>0 a curva é côncava para cima, onde f''(x)<0 é côncava para baixo, e pontos de inflexão só ocorrem se houver mudança de sinal de f''.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do poder:
f'(x) = 23,(x-2)^23-1 = 23,(x-2)^-13

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada:
f''(x) = ddx!gl[23(x-2)^-13gr] = 23,l(-tfrac13r),(x-2)^-13-1 = -29,(x-2)^-43

Passo 4

Observe que (x-2)^-43 é sempre positivo para xneq2. Logo
f''(x) = -29,(x-2)^-43 < 0 para todo xneq2
Isso significa que a curva é côncava para baixo em (-infty,2) e em (2,infty), e não há região em que f''(x)>0. Embora f'' não exista em x=2, não ocorre mudança de sinal em torno desse ponto.

Resposta

A função é côncava para baixo em todo o domínio (-infty,2)cup(2,infty) e não apresenta ponto de inflexão.

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