Use funções hiperbólicas para parametrizar a interseção das superfícies x^2-y^2=4 e z=xy.

Passo 1

O exercício pede para parametrizar a curva de interseção das superfícies x²–y²=4 e z=xy usando funções hiperbólicas.

Passo 2

A ideia é usar a identidade das funções hiperbólicas: cosh^2 t - sinh^2 t = 1. Assim, para garantir x^2 - y^2 = 4, definimos
x(t)=2cosh t, y(t)=2sinh t, tinR

Passo 3

Com essas escolhas, calculamos z substituindo em z=xy:
z(t)=x(t),y(t)=(2cosh t)(2sinh t)=4sinh t,cosh t
Opcionalmente, usando a identidade de duplicação sinh(2t)=2sinh tcosh t, fica z(t)=2sinh(2t).

Passo 4

Por fim, montamos a parametrização da interseção:
r(t)=l(2cosh t,,2sinh t,,4sinh tcosh tr), tinR
Se você quiser cobrir também o ramo com x<0, basta trocar x(t) por -2cosh t mantendo y(t)=2sinh t.

Resposta

r(t)=(2cosh t,,2sinh t,,4sinh tcosh t), tinR

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