Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
,
e
e
,
em
e
em
e
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço de uma função
que tenha
- pontos críticos em
com
em , em e em ,
em e em , - concavidade para cima (
) em e em ,
concavidade para baixo () em e em , - inflexão em
e em , -
, -
(assíntota horizontal pela direita), -
(assíntota vertical em ).
Conteúdo: análise de sinais de
e
, classificação de extremos e inflexões, comportamento em assíntotas.
Passo 2
Classificação de extremos pela variação de
:
- Em
, decresce até ; em , cresce a partir de . Logo é mínimo local. - Em
, cresce até ; em , decresce a partir de . Logo é máximo local. - Em
, cresce até ; em , decresce a partir de . Logo é máximo local.
Passo 3
Concavidade e inflexões pela variação de
:
- Em
, concavidade para cima; em , concavidade para baixo. Assim é ponto de inflexão (e ). - Em
, continua côncavo para baixo; em , volta a concavar para cima. Logo é ponto de inflexão.
Passo 4
Comportamento em assíntotas:
-
cria assíntota vertical em . -
cria assíntota horizontal quando .
Passo 5
Montagem do esboço qualitativo (marque no eixo
os pontos
):
- Para
: decresce com concavidade para cima, atinge mínimo em . - De
até : cresce concavo para cima, passa em inflexão. - De
até : cresce concavo para baixo, atinge máximo em . - De
até : decresce concavo para baixo até ir a quando . - De
até : sobe a partir de , ainda concavo para baixo, alcança máximo em . - De
até : decresce concavo para baixo. - Para
: decresce concavo para cima, aproximando-se de quando .
Resposta
Esboce um gráfico que obedeça à descrição do Passo
, mostrando:
- mínimo em
, máximo em e em , - inflexões em
e em , - assíntota vertical em
( ) e horizontal em quando .