Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
f(0)=0, f^prime(-2)=f^prime(1)=f^prime(9)=0, lim x +infty f(x)=0, lim x 6 f(x)=-infty,
f^prime(x)<0 em(-infty,-2),(1,6) e (9,+infty) ; f^prime(x)>0 em(-2,1) e (6,9), f^prime prime(x)>0 em (-infty, 0) e (12,+infty) ; f^prime prime(x)<0 em (0,6) e (6,12).

Passo 1

O enunciado pede o esboço de uma função f que tenha
  • pontos críticos em x=-2,1,9 com
    f'(x)<0 em (-infty,-2), em (1,6) e em (9,infty),
    f'(x)>0 em (-2,1) e em (6,9),
  • concavidade para cima ( f''>0) em (-infty,0) e em (12,infty),
    concavidade para baixo ( f''<0) em (0,6) e em (6,12),
  • inflexão em x=0 e em x=12,
  • f(0)=0,
  • limxto+inftyf(x)=0 (assíntota horizontal y=0 pela direita),
  • limxto6f(x)=-infty (assíntota vertical em x=6).
Conteúdo: análise de sinais de f' e f'', classificação de extremos e inflexões, comportamento em assíntotas.

Passo 2

Classificação de extremos pela variação de f':
  • Em (-infty,-2), f'<0 decresce até x=-2; em (-2,1), f'>0 cresce a partir de -2. Logo x=-2 é mínimo local.
  • Em (-2,1), f'>0 cresce até x=1; em (1,6), f'<0 decresce a partir de 1. Logo x=1 é máximo local.
  • Em (6,9), f'>0 cresce até x=9; em (9,infty), f'<0 decresce a partir de 9. Logo x=9 é máximo local.

Passo 3

Concavidade e inflexões pela variação de f'':
  • Em (-infty,0), f''>0 Rightarrow concavidade para cima; em (0,6), f''<0 Rightarrow concavidade para baixo. Assim x=0 é ponto de inflexão (e f(0)=0).
  • Em (6,12), f''<0 continua côncavo para baixo; em (12,infty), f''>0 volta a concavar para cima. Logo x=12 é ponto de inflexão.

Passo 4

Comportamento em assíntotas:
  • limxto6f(x)=-infty cria assíntota vertical em x=6.
  • limxto+inftyf(x)=0 cria assíntota horizontal y=0 quando xto+infty.

Passo 5

Montagem do esboço qualitativo (marque no eixo x os pontos -2,0,1,6,9,12):
  • Para x<-2: f decresce com concavidade para cima, atinge mínimo em -2.
  • De -2 até 0: cresce concavo para cima, passa em (0,0) inflexão.
  • De 0 até 1: cresce concavo para baixo, atinge máximo em 1.
  • De 1 até 6: decresce concavo para baixo até ir a -infty quando xto6^-.
  • De 6^+ até 9: sobe a partir de -infty, ainda concavo para baixo, alcança máximo em 9.
  • De 9 até 12: decresce concavo para baixo.
  • Para x>12: decresce concavo para cima, aproximando-se de y=0 quando xto+infty.

Resposta

Esboce um gráfico que obedeça à descrição do Passo 5, mostrando:
  • mínimo em (-2,f(-2)), máximo em (1,f(1)) e em (9,f(9)),
  • inflexões em (0,0) e em (12,f(12)),
  • assíntota vertical em x=6 ( fto-infty) e horizontal em y=0 quando xto+infty.

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