O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
d yd x=x^2-3 y^22 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = x^2 - 3,y^22,x,y
O conteúdo é equações homogêneas: para mostrar que essa equação é homogênea, basta verificar que o membro direito é uma função de y/x ou, de forma equivalente, que
f(x,y)=x^2-3y^22xy
satisfaz f(tx,ty)=f(x,y) para todo t.

Passo 2

Calculamos
f(tx,ty) = (t,x)^2-3,(t,y)^22,(t,x),(t,y) = t^2(x^2-3y^2)2,t^2,x,y = x^2-3y^22,x,y = f(x,y)
Isso mostra que f é homogênea de grau zero.

Passo 3

Em alternativa, dividindo numerador e denominador por x^2 obtemos
x^2-3y^22xy = 1-3,(y/x)^22,(y/x),
que depende apenas da razão y/x.

Resposta

A equação é homogênea, pois o membro direito é função unicamente de y/x (ou seja, f(tx,ty)=f(x,y)).

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