O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O conteúdo é equações homogêneas: para mostrar que essa equação é homogênea, basta verificar que o membro direito é uma função de
ou, de forma equivalente, que
satisfaz
para todo
.
Passo 2
Calculamos
Isso mostra que
é homogênea de grau zero.
Passo 3
Em alternativa, dividindo numerador e denominador por
obtemos
que depende apenas da razão
.
Resposta
A equação é homogênea, pois o membro direito é função unicamente de
(ou seja,
).