Analise a concavidade do gráfico das funções abaixo. Identifique os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a concavidade da função
e identificar pontos de inflexão. O conteúdo envolvido é derivadas de ordens 1 e 2 e teste de concavidade (sinal de
).
Passo 2
Vamos primeiro calcular a derivada de primeira ordem
. Derivando termo a termo: a derivada de
é
e a de
é
. Logo,
[ g’(x)=2x{-1/3}-\tfrac{5}{3}x{2/3} ]
[ g’(x)=2x{-1/3}-\tfrac{5}{3}x{2/3} ]
Passo 3
Em seguida calculamos a derivada de segunda ordem
. Derivando cada parcela de
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Somando,
[ g’’(x)=-\tfrac{2}{3}x{-4/3}-\tfrac{10}{9}x{-1/3}=-\frac{6x{-4/3}+10x{-1/3}}{9}. ]
Passo 4
Para estudar a concavidade, escrevemos
de forma mais clara. Fatorando
no numerador:
[ g’’(x)=-\frac{6+10x}{9x^{4/3}}. ]
O sinal de depende apenas de
(pois
para
).
[ g’’(x)=-\frac{6+10x}{9x^{4/3}}. ]
O sinal de
Passo 5
Encontramos possíveis mudanças de concavidade quando o numerador zera ou
fica indefinida:
-
em . -
é indefinida em , mas vamos checar se há troca de sinal ali.
Passo 6
Agora testamos o sinal de
em cada intervalo:
- Para
, escolhemos : , então . Logo concavidade para cima. - Para
, escolhemos : , então . Logo concavidade para baixo. - Para
, escolhemos : , então . Concavidade também para baixo.
Passo 7
Concluímos que a concavidade troca de cima para baixo apenas em
. Em
não há troca de sinal de
(continua negativa antes e depois), então não é ponto de inflexão.
O ponto de inflexão é em . Para a ordenada, calculamos
[ g\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)=3\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr){2/3}-\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr){5/3}=\frac{18}{5}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{2/3}. ]
O ponto de inflexão é em
[ g\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)=3\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr){2/3}-\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr){5/3}=\frac{18}{5}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{2/3}. ]
Resposta
A função é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. O único ponto de inflexão é !
.