Analise a concavidade do gráfico das funções abaixo. Identifique os pontos de inflexão.
g(x)=3 x^2 / 3-x^5 / 3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a concavidade da função g(x)=3x^2/3-x^5/3 e identificar pontos de inflexão. O conteúdo envolvido é derivadas de ordens 1 e 2 e teste de concavidade (sinal de g''(x)).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de primeira ordem g'(x). Derivando termo a termo: a derivada de 3x^2/3 é 3cdottfrac23x^-1/3=2x^-1/3 e a de -x^5/3 é -tfrac53x^2/3. Logo,
[ g’(x)=2x{-1/3}-\tfrac{5}{3}x{2/3} ]

Passo 3

Em seguida calculamos a derivada de segunda ordem g''(x). Derivando cada parcela de g'(x):
  • A derivada de 2x^-1/3 é 2cdot(-tfrac13)x^-4/3=-tfrac23x^-4/3.
  • A derivada de -tfrac53x^2/3 é -tfrac53cdottfrac23x^-1/3=-tfrac109x^-1/3.
    Somando,
    [ g’’(x)=-\tfrac{2}{3}x{-4/3}-\tfrac{10}{9}x{-1/3}=-\frac{6x{-4/3}+10x{-1/3}}{9}. ]

Passo 4

Para estudar a concavidade, escrevemos g''(x) de forma mais clara. Fatorando x^-4/3 no numerador:
[ g’’(x)=-\frac{6+10x}{9x^{4/3}}. ]
O sinal de g''(x) depende apenas de -(6+10x) (pois 9x^4/3>0 para xneq0).

Passo 5

Encontramos possíveis mudanças de concavidade quando o numerador zera ou g'' fica indefinida:
  • 6+10x=0 em x=-tfrac35.
  • g'' é indefinida em x=0, mas vamos checar se há troca de sinal ali.

Passo 6

Agora testamos o sinal de g''(x) em cada intervalo:
  • Para x<-tfrac35, escolhemos x=-1: 6+10(-1)=-4<0, então g''(-1)=-(-4)/(9cdot1)>0. Logo concavidade para cima.
  • Para -tfrac35, escolhemos x=-0.2: 6+10(-0.2)=4>0, então g''(-0.2)=-4/(9cdot|x|^4/3)<0. Logo concavidade para baixo.
  • Para x>0, escolhemos x=1: 6+10=16>0, então g''(1)<0. Concavidade também para baixo.

Passo 7

Concluímos que a concavidade troca de cima para baixo apenas em x=-tfrac35. Em x=0 não há troca de sinal de g'' (continua negativa antes e depois), então não é ponto de inflexão.
O ponto de inflexão é em x=-tfrac35. Para a ordenada, calculamos
[ g\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)=3\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr){2/3}-\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr){5/3}=\frac{18}{5}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{2/3}. ]

Resposta

A função é côncava para cima em ( -infty,-3/5) e côncava para baixo em ( -3/5,infty). O único ponto de inflexão é ! l(-tfrac35,tfrac185(tfrac35)^2/3r).

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