Analise a continuidade e derivabilidade da função
f(x)=\left\{\begin{array}{cll} x+1 & \text { se } & x<2 \\\\ 1 & \text { se } & x \geq 2 \end{array}\right.
no ponto x=2.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x+1, & x<2,\\\\ 1, & x\ge2, \end{cases}
e pede para analisar a continuidade e a derivabilidade em x=2. Vamos usar o conceito de limite lateral para estudar a continuidade e, em seguida, o critério de diferenciabilidade.

Passo 2

Calculemos o limite lateral pela esquerda em x=2:
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}(x+1) =2+1 =3.
O limite lateral pela direita em x=2 é
\lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}1 =1.

Passo 3

Para f ser contínua em x=2 precisamos ter
\lim_{x\to2}f(x) \;=\;f(2).
Porém
\lim_{x\to2^-}f(x)=3 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}f(x)=1,
logo \lim_{x\to2}f(x) não existe (saltos diferentes). Além disso f(2)=1, que sequer coincide com o limite pela esquerda. Concluímos que f é descontinua em x=2.

Passo 4

Como um requisito para existência da derivada em um ponto é que a função seja contínua nesse ponto, e já vimos que f não é contínua em x=2, segue que f também não é diferenciável em x=2.

Resposta

A função f não é contínua em x=2 e, consequentemente, não é diferenciável em x=2.

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